【分析】若想利用tan∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ACD的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比． 【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E． ∵AC⊥BC，

∴BE⊥BC，∠CBE=90°． ∴BE∥AC． ∵AB=BD， ∴AC=2BE．

又∵tan∠BCD=，设BE=x，则AC=2x， ∴tanA=故选A．

=

=，

3．（2011?南充）如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=④BM=DM．正确结论的个数是（ ）

；②S△ABC+S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】①根据等腰直角三角形的性质及△ABC∽△CDE的对应边成比例知，然后由直角三角形中的正切函数，得tan∠AEC=

=

=； ；

，再由等量代换求得tan∠AEC=

②由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a2+b2≥2ab（a=b时取等号）解答；

③、④通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答．

【解答】解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形， ∴AB=BC，CD=DE，

∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°， ∴∠ACE=90°； ∵△ABC∽△CDE

资料

∴==

，

①∴tan∠AEC=∴tan∠AEC=

；故本选项正确；

②∵S△ABC=a2，S△CDE=b2，S梯形ABDE=（a+b）2， ∴S△ACE=S梯形ABDE﹣S△ABC﹣S△CDE=ab， S△ABC+S△CDE=（a2+b2）≥ab（a=b时取等号）， ∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE；故本选项正确； ④过点M作MN垂直于BD，垂足为N． ∵点M是AE的中点， 则MN为梯形中位线， ∴N为中点，

∴△BMD为等腰三角形， ∴BM=DM；故本选项正确；

③又MN=（AB+ED）=（BC+CD）， ∴∠BMD=90°，

即BM⊥DM；故本选项正确． 故选D．

4．（2011?昆明）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=ED交BC的延长线于D点，垂足为E，则sin∠CAD=（ ）

，AB的垂直平分线

资料

A． B． C． D．

【分析】设AD=x，则CD=x﹣3，在直角△ACD中，运用勾股定理可求出AD、CD的值，即可解答出；

【解答】解：设AD=x，则CD=x﹣3， 在直角△ACD中，（x﹣3）2+解得，x=4， ∴CD=4﹣3=1， ∴sin∠CAD=

=；

=x2，

故选A．

5．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连AC，则tan∠DAC的值为（ ）

A．

B．

C．

D．

【分析】欲求∠DAC的正切值，需将此角构造到一个直角三角形中． 过C作CE⊥AD于E，设CD=BD=1，然后分别表示出AD、CE、DE的值，进而可在Rt△ACE中，求得∠DAC的正切值．

【解答】解：如图，过C作CE⊥AD于E． ∵∠BDC=90°，∠DBC=∠DCB=45°， ∴BD=DC， 设CD=BD=1，

在Rt△ABD中，∠BAD=30°，则AD=2．

在Rt△EDC中，∠CDE=∠BAD=30°，CD=1， 则CE=，DE=

．

∴tan∠DAC===．

故选C．

资料

6．（1998?台州）如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（ ）

A．

B．1

C．

D．

【分析】若想利用cot∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ABC的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比． 【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E． ∵AB=BD，

∴E是CD中点， ∴AC=2BE， ∵AC⊥BC，

∴BE⊥BC，∠CBE=90°． ∴BE∥AC． ∵AB=BD， ∴AC=2BE．

又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x， ∴tanA=

=

=，故选A．

7．（2011?黔东南州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，若BC=6，AC=8，则tan∠ACD的值为（ ）

资料