QCD?FC,?FC?平面ABCD．

如图建立的空间直角坐标系D?xyz． 在等腰梯形ABCD中，可得CD?CB?1．

?A(3133311,?,0),E(0,0,1),B(,,0),C(0,1,0),F(0,1,1)则Q(,?,)． 2222442uuuruuurr31311uuu那么BC?(?,?,0),DQ?(,?,),DF?(0,1,1)

22442设平面DQF的法向量为n?(x,y,z)，

ruuuv?3v11r?n?DQ?0x?y?z?0?v则有?vuuu，即?4，取y?1，得n?(3,1,?1)． 42?n?DF?0?y?z?0?uuurruuurr|CB?n|25rr?设BC与平面DQF所成的角为?，则|sin??|cos?CB,n?|?uuu．

5|CB|?|n|所以BC与平面DQF所成角的正弦值为25． 5

【点睛】

本小题主要考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 18．已知函数f?x??lnx?12ax?bx，函数f?x?在点?1,f?1??处的切线斜率为0. 2（1）试用含有a的式子表示b，并讨论f?x?的单调性；

（2）对于函数f?x?图象上的不同两点A?x1,y1?，B?x2,y2?，如果在函数f?x?图象上存在点

M?x0,y0??x0??x1,x2??，使得在点M处的切线l//AB，则称AB存在“跟随切线”.特别地，当

x0?x1?x2时，又称AB存在“中值跟随切线”.试问：函数f?x?上是否存在两点A,B使得它存在“中值2跟随切线”，若存在，求出A,B的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1）b?a?1，单调性见解析；（2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】

（1）由题意得f??1??0，即可得b?a?1；求出函数f?x?的导数f??x???ax?1???x?1?，再根据

xa?0、?1?a?0、a??1、a??1分类讨论，分别求出f??x??0、f??x??0的解集即可得解；

?x1?x2?B?x2，y2?且0?x1?x2，（2）假设满足条件的A、不妨设A?x1，y1?，由题意得kAB?f??B存在，??2??x?2?1?1?2?t?1?xx?，令t?x1（0?t?1）可得ln1??2，构造函数g?t??lnt?（0?t?1），求导后证

xxt?12x21?1x2明g?t??0即可得解. 【详解】

???且f??x??（1）由题可得函数y?f?x?的定义域为?0，由f??1??0，整理得b?a?1.

1?ax?b， xf??x??ax?1???x?1??11. ?ax?b??ax?a?1?xxx，???时f??x??0. （ⅰ）当a?0时，易知x??01?，f??x??0，x??1，，???上单调递减. 故y?f?x?在?01?上单调递增，在?1，（ⅱ）当a?0时，令f??x??0，解得x?1或x??①当?②当?1，则 a1???上恒成立，则y?f?x?在?0，???上递增. ?1，即a??1时，f??x??0在?0，a1?1?1????，???时，f??x??0； ?1，即?1?a?0时，当x??0，a?a???1??时，f??x??0. a??当x??1，?，所以y?f?x?在?01?上单调递增，?1，??1??1??，??单调递减，???单调递增.

a??a?③当?1?1??1?????1，???时，f??x??0；当x???，1?时，f??x??0. ?1，即a??1时，当x??0，aaa????1??1??1?单调递减，?1??上单调递增，??，，???单调递增. 所以y?f?x?在?0，a?a???，???单调递减. 综上，当a?0时，y?f?x?在?01?上单调递增，在?1，???上单调递增；y?f?x?在?1，?，当?1?a?0时，y?f?x?在?01?及??，?1?a????1??上单调递减. a????上递增. 当a??1时，y?f?x?在?0，1??1??1?上递减. ??及?1，???上单调递增；y?f?x?在??，当a??1时，y?f?x?在?0，a?a???（2）满足条件的A、B不存在，理由如下：

假设满足条件的A、B存在，不妨设A?x1，y1?，B?x2，y2?且0?x1?x2， 则kAB?y1?y2lnx1?lnx21??a?x1?x2??a?1， x1?x2x1?x22x1?x22?x1?x2???fx?f??a??a?1， 又?0???2?2?x1?x2由题可知kAB?f??x0??x?2?1?1?x2?lnx1?lnx2x12x1?2x22?，整理可得：， ??ln??xx1?x2x1?x2x2x1?x21?1x2令t?x12?t?1?（0?t?1），构造函数g?t??lnt?（0?t?1）. x2t?12?t?1??014?则g??t???，

t?t?1?2t?t?1?2，所以g?t?在?01?上单调递增，从而g?t??g?1??0，

所以方程lnx12x1?2x2?无解，即kAB?f?x0无解. x2x1?x2??综上，满足条件的A、B不存在. 【点睛】

本题考查了导数的应用，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题.

19．在极坐标系中，已知曲线C1:?cos??3?sin??1?0，C2:??2cos?． （1）求曲线C1、C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； （2）若曲线C1、C2交于A、B两点，求两交点间的距离．

【答案】（1）C1:x?3y?1?0表示一条直线，C2:?x?1??y2?1是圆心为?1,0?，半径为1的圆；（2）

22.

【解析】 【分析】

（1）直接利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可将曲线C1的方程化为直角坐标方程，进而可

??2?x2?y2判断出曲线C1的形状，在曲线C2的方程两边同时乘以?得??2?cos?，由?可将曲线C2??cos??x2的方程化为直角坐标方程，由此可判断出曲线C2的形状；

（2）由直线C1过圆C2的圆心，可得出AB为圆C2的一条直径，进而可得出AB. 【详解】

（1）QC1:?cos??3?sin??1?0，则曲线C1的普通方程为x?3y?1?0， 曲线C1表示一条直线；

222 由C2:??2cos?，得??2?cos?，则曲线C2的直角坐标方程为x?y?2x，即?x?1??y2?1．

2所以，曲线C2是圆心为?1,0?，半径为1的圆；

（2）由（1）知，点?1,0?在直线x?3y?1?0上，?直线C1过圆C2的圆心． 因此，AB是圆C2的直径，?AB?2?1?2． 【点睛】

本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.

???2f(x)?sin2x?20．设函数???cosx?3sinxcosx．

6??（1）若|x|??4，求函数f(x)的值域；

（2）设A,B,C为VABC的三个内角，若f?53?A?5，求cosC的值； ?,cos(A?C)???2214??【答案】（1）?【解析】 【分析】

5??1?3,?（2）cosC?33 2??214（1）将f(x)?sin?2x?????2，??cosx?3sinxcosx，利用三角恒等变换转化为：

6???1?f?x??2sin?2x???，再根据正弦函数的性质求解，

6?2?（2）根据f??????A?5?sinA??1A?，得，又为的内角，得到，再根据AVABC???226?3???