Ⅰ．背景材料 分类讨论思想

当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，就把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得到问题的答案，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法．

分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破”．其一般规则及步骤是：（1）确定同一分类标准；（2）恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；（4）综合概括小结，归纳得出结论．

悟与问：圆周角定理是如何进行分类讨论论证的？

Ⅱ．课前准备

一、课标要求

经历探索圆周角和圆心角关系的过程，理解圆周角的概念及其相关性质，体会分类、归纳等数学思想．通过本节学习，应理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能熟练地运用它们进行论证和计算．通地圆周角定理的证明，进一步了解分情况证明数学命题的思想和方法．

二、预习提示

1．关键概念和定理提示 关键概念：圆周角．

重要定理：圆周角定理及两个推论．

2．预习方法提示：本节由射门游戏问题引入圆周角概念，圆周角有两个特征．圆周角与圆心角的关系揭示了分类讨论思想的本质，学习时要注意体会．

三、预习效果反馈

1．试找出图3-3-1中所有的圆周角．

2．如图3-3-2，∠A是⊙O的圆周角，∠A是40°，求∠OBC． 3．如图3-3-3，AB是⊙O的直径，∠A=40°，求∠ABC度数．

Ⅲ．课堂跟讲

一、背记知识随堂笔记 （一）必记概念

1．圆周角：顶点在 ，并且 的角． 2．圆周角的两个特征：（1） ；（2） ． （二）必记定理

1．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ． 2．推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）直径所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 ．

（三）知识结构

二、教材中“？”解答

1．问题（P100） 解答：这三个角大小相等． 2．议一议（P101） 解答：∠ABC=

1∠AOC．分三种情况进行证明．小亮考虑的是一2种特殊情况，其他两种情况可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．需要明确：以圆上任意一点为顶点的圆周角，虽然有无数个，但它们与圆心的位置关系归纳起来只有三种情况：（1）圆心在角的一边上；（2）圆心在角的部；（3）圆心在角的外部．

3．问题（P102） 解答：如果∠ABC的两边不经过圆心，结果一样．对于图（1）中，

1??AOD??2圆心O在∠ABC的部，作直径BD，利用小亮的结果，有??∠ABD

1?CBD??COD??2??ABD?＋∠CBD=

111∠AOD＋∠COD?∠ABC=∠AOC． 222对于书上图（2）中，圆心O在∠ABC的外部，作直径BD．利用小亮的结果，有

1??AOD?111?2??∠ABD－∠CBD=∠AOD－∠COD?∠ABC=∠AOC．

1222?CBD??COD??2??ABD?4．问题（P104） 解答：（1）这一问题实际上是本节一开始提出的问题，解决这一问题的时机已经成熟．∠ABC、∠ADC、∠AEC是同弧（AC）所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于圆心角∠AOC的一半，所以这几个圆周角相等．

（2）这是圆周角定理的一种特殊情况，即半圆所对的圆周角是直角，在教科书图3-18中，半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=90°．

（3）这一问题与问题（2）互逆，在教科书图3-19中，连接OB，OC．因为圆周角∠BAC=90°，所以圆心角∠BOC=180°，即BOC是一条线段，也就是说BC是⊙O的一条直径．

5．议一议（P105） 解答：在得出本节的结论的过程中，用了度量与证明，分类与转化，以及类比等方法．尤其定理的证明，把圆周角和圆心的位置关系分为三类，又把第2，3类转化为第一类去证明，体现了分类与转化的数学思想．

6．做一做（P106） 解答：（1）船位于暗礁区域（即⊙O）．

理由是：假设船在⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能位于⊙O外．

（2）船位于暗礁区域外（即⊙O外）说理方法与（1）类似． 三、重点难点易错点讲解 圆周角的概念、圆周角定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，是本章的重点容之一．认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性是本节的难点．

圆周角有两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交，二者缺一不可．这里所说的角的两边都与圆相交可理解为，除角的顶点外，角的各边与圆还另有一个公共点即交点．

⌒圆周角定理的证明分三种情况进行讨论，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．这种由特殊到一般的思想方法，应当注意掌握．其证明思路是：（1）将已知图形中各种可能位置进行分类（圆心在圆周角部，外部，其中一边上）；（2）先证明特殊情况（即圆心在圆周角其中一边上）；（3）利用特殊位置的结论证明其它情况，即将其他情形转化为已证的特殊情形来证；（4）归纳总结出一般性结论．这种方法叫归纳法，可以应用于解题之中．

本节常见的错误有：（1）一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角有两个，做题时常常忽略一个；（2）对于需要我们自己完成的图形，某些特殊图形往往只画出一种情况，而忽略或根本不考虑其他情况．

【例1】 已知⊙O中的弦AB长等于半径，求弦AB所对的圆周角和圆心角的度数． 错解：如图3-3-4，∵AB=OA，∴△OAB为等边三角形．∴∠AOB=60°．∴∠C=30°．∴AB所对的圆心角为60°，圆周角为30°．

正确解法：如图3-3-5，∵AB=OA=OB，∴△AOB为等边三角形．∴∠AOB=60°．∴∠C=30°．∴∠D=150°．∴弦AB所对的圆心角为60°，所对的圆周角为30°或150°．

错解分析：错解中忽略了弦与弧的差别，同弧所对的圆周角相等，同弦所对的圆周角相等或互补，本题漏掉一个．同学们应加强位置意识的培养，克服思维定势．

【例2】 已知AB为⊙O的直径，AC和AD为弦，AB=2，AC=2，AD=1，求∠CAD的度数．

错解：如图3-3-6，连接BC、BD． ∵AB为直径，∴∠C=∠D=90°．

在Rt△ABC中，AB=2，AC=2，∴cos∠CAB=

2AC=．∴∠CAB=45°． AB2在Rt△ADB中，AD=1，AB=2，∴cos∠DAB=∴∠CAD=∠DAB＋∠CAB=105°．

AD1=．∴∠DAB=60°． AB2

正确解法：如图3-3-6和3-3-7，

由题解中得∠DAB=60°，∠CAB=45°，

∴图3-3-7中有∠DAC=∠DAB－∠CAB=15°．

∴∠DAC的度数为15°或105°．

解错分析：错解中只考虑到弦AC和AD在直径AB同侧的情况，而忽略了AD和AC在AB两侧的情况，因此平时做题一定要细心，思考问题要全面，克服思维的片面性、单一性．

四、经典例题精讲 （一）教材变型题

【例1】 如图3-3-8，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．

思维入门指导：已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质解题．

解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°． 在Rt△ACB中，BC=

AB2?AC2=102?62=8．

⌒

⌒∵CD平分∠ACB，∴AD=BD．∴AD=BD． 在Rt△ADB中，AD=BD=

2AB=52（cm）． 2点拨：这是利用圆周角定理的推论，同圆中，弧、弦之间的相等关系以及勾股定理解的计算题．

（二）中考题

【例2】 （2002，眉山，10分）已知等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过O2，点C是AO2B上任一点（不与A、O2、B重合），连接BC并延长交⊙O2于D，连接AC、AD．求证： ．

（1）操作测量：图3-3-9（a）供操作测量用，测量时可使用刻度尺或圆规将图3-3-9（a）补充完整，并观察和度量AC、CD、AD三条线段的长短，通过观察或度量说出三条线段之间存在怎样的关系？

⌒

（2）猜想结论（求证部分），并证明你的猜想；（在补充完整的图3-3-9（a）中进行证明）