9

4(a?1)2a(a?1)2【分析】不等式中log2、 log2、log2三项有何联系？进行

aa?14a2对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。

4(a?1)8(a?1)2aa?1＝t，则log2＝log2＝3＋log2＝3－

a2aa?12a2aa?1(a?1)2log2＝3－t，log2＝2log＝－2t， 2a?12a4a2【解】 设log2代入后原不等式简化为（3－t）x＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以：

2?3?t?0?t?32a，解得 ∴ t<0即log<0 ??22a?1t?0或t?6??4t?8t(3?t)?0??2a0<<1，解得0

4(a?1)2a(a?1)2何设元，关键是发现已知不等式中log2、 log2、log2三项之间

aa?14a2的联系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算

十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。

xsinθcos2θ10sin2θcosθ例5. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的2222xyxy3(x?y)y值。

【解】 设

222sinθcosθ22＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝xyy2k2x2x210k2k2y210k(x+y)＝1,代入②式得： ＋ 即：2＋222＝22＝3xx3(x?y)yy10＝ 313xx21设2＝t，则t＋＝10 , 解得：t＝3或 ∴＝±3或±

t33y3yxsinθcos2θ【另解】 由＝＝tgθ，将等式②两边同时除以，再表示成含tg

ycosθx2102104222θ的式子：1＋tgθ＝(1?tg?)?＝tgθ，设tgθ＝t，则3t—10t

133(1?2)tg?＋3＝0，

9

10

∴t＝3或

3x1， 解得＝±3或±。 33ysinθcosθ＝而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个xy【注】 第一种解法由

xsinθ数。第二种解法将已知变形为＝，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变

ycosθ形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。

(x?1)2(y?1)2例6. 实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。

916(x?1)2(y?1)222【分析】由已知条件＋＝1，可以发现它与a＋b＝1有相似之处，

916于是实施三角换元。

x?1y?1(x?1)2(y?1)2【解】由＋＝1，设＝cosθ，＝sinθ，

34916?x?1?3cosθ即：? 代入不等式x＋y－k>0得：

y??1?4sinθ?3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ) 所以k<-5时不等式恒成立。

【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。

本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点

始终位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k＝0在 y

与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程 x

?16(x?1)2?9(y?1)2?144组?有相等的一组实数解，消元 x?y?k?0? x＋y－k>0 后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。 k 平面区域

Ⅲ、巩固性题组：

1. 已知f(x)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。 A. 2lg2 B. 1lg2 C. 2lg2 D. 2lg4 33332. 函数y＝(x＋1)＋2的单调增区间是______。

A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1]

3. 设等差数列{an}的公差d＝1，且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋……＋a99的值为

24_____。

10

11

A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4. 已知x＋4y＝4x，则x＋y的范围是_________________。

5. 已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则a?1＋b?1的范围是____________。

22226. 不等式x>ax＋3的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。

27. 函数y＝2x＋x?1的值域是________________。

8. 在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋a10＝2，a11＋a12＋…＋a30＝12，求a31＋a32＋…＋a60。

9. 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sinx＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。

22 y D C 10. 已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线x＋y

＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB、AD始终平行x轴、 A B y轴，求矩形ABCD的最小面积。 O x 第5，6课时：

三、待定系数法

要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根

据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)?g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)?g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ① 利用对应系数相等列方程； ② 由恒等的概念用数值代入法列方程； ③ 利用定义本身的属性列方程； ④ 利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。

Ⅰ、再现性题组：

1. 设f(x)＝

2x?1＋m，f(x)的反函数f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。 211

12

5555 , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2 22221122. 二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是_____。

23A.

A. 10 B. －10 C. 14 D. －14 3. 在(1－x)（1＋x）的展开式中，x的系数是_____。 A. －297 B.－252 C. 297 D. 207 4. 函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为

310531，最小值为－，则y＝－4asin3bx的最22小正周期是_____。

5. 与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。

y26. 与双曲线x－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是

42____________。

x?1＋m求出f(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C； 2111122小题：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的两根，代

2323【简解】1小题：由f(x)＝

入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；

3小题：分析x的系数由C10与(－1)C10两项组成，相加后得x的系数，选D； 4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案

55252?； 35小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；

y2x2y26小题：设双曲线方程x－＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝

431221。

Ⅱ、示范性题组：

mx2?43x?n例1. 已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。

x2?1【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。

【解】 函数式变形为： (y－m)x－43x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0 ∴ △＝(－43)－4(y－m)(y－n)≥0 即： y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根， 代入两根得：?2222?m?5?m?1?1?(m?n)?mn?12?0 解得：?或?

?n?1?n?5?49?7(m?n)?mn?12?012