第三篇 电磁学

第7章 静电场

7-10在边长为a的正六角形的六个顶点都放有电荷，如图7-68（a）所示，则六角形中心O处的电场强度为多少？

（a） 图7-68 习题7－10图解 （b） 分析：在图7-68（a）中标注各顶点名称后如图7-68（b）所示，由对称性可知，C点与F点的点电荷，B点与E点的点电荷在O点产生的电场相互抵消。因此O点的电场仅由A点和D点的点电荷产生。

解： 根据点电荷在空间某点产生的电场公式E?q4??0r3r可得： i?q2??0a2EO?EAi?EDi?q4??0a2i?q4??0a2i

7-11一半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷Q，求环心处的电场强度，如图7－69（a）所示。

（a） 图7-69 习题7－11图解 （b） 分析：在带电半圆环上任取一线元dl?Rd?，其电荷为：dq?Qdl，此电荷元可视为点电?R 63

第三篇 电磁学

荷，它在O点产生的电场强度大小为：dE?1dq，方向沿径向，如图7－69（b）所示，。因圆24??0r环上电荷对y轴呈对称性分布，所以电场分布也是轴对称的，即在x轴上的电场强度

Ex??dEx?0，只有y轴上有电场强度。

L解：

Ey??dEy??Lsin?QQ ?2?Rd??22L4??R?R2??R001Q2?2?0R2j

?E?Exi?Eyj??“-”表示电场强度的方向沿y轴负向。

7-12设均匀电场的电场强度E与半径为R的半球面的轴平行，试计算通过此半球面S1的电通量；若以半球面的边线为边线，另作一个任意形状的曲面S2，则通过S2面的电通量又是多少？如图7－70所示。

分析：选半径为R的大圆面s0与s1或s2和组成一个封闭曲面

s，由高斯定理可方便求得该闭合曲面的电通量为零，再由积分知

识可知，通过曲面s1或s2的电通量大小即为通过大圆面s0的电通量大小。

解：由高斯定理知：

图7-70 习题7－12图解 ??而

sq?E?ds?i?0?0

??E?ds???ss0E?ds???E?ds?0，所以：

s12 ?eS1??E?ds??E?ds?ES?E?R???s1s0同理，由s2和以R为半径的大圆面s0。组成一个封闭曲面s`，则可得：

2 ?eS2???E?ds?ES?E?R?s07-13如图7-71（a）所示，电荷线密度为?1的无限长均匀带电直线，其旁垂直放置电荷线密度为?2的有限长均匀带电直线AB，两者位于同一平面内。则AB所受静电作用力的大小为多少？

分析一： 由题意可知，两直线均匀带电。由于库仑定律只适用于点电荷系统。因此，需将两带电直线分成许多电荷元；建立如图7-71 (b)所示的直角坐标系，有dq1??1dy，dq2??2dx，根据库仑定律可得dq1，施加给dq2的作用力为：

dF?dqdq?122 4??0r1r为两电荷元之间的距离。将dF沿x、y轴投影，得：dFx?dFcos?，dFy?dFsin?；根

据对称性分析可知：Fy?dFy为零。因此，F只沿x轴正向。

? 64

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解一：

??F??dFx??dFcos??224??0?2?1?24??0??aa?b????xdxdy r3?a?baxdx??0?1?2a?bdy ?ln2232(x?y)2??0a（a） （b） 图7-71 习题7－13图解 分析二： 由电场强度定义求解。如图7-71 (b)所示，带电直线AB处于无限长带电直线产生的电场中，若把带电直线AB视为许多电荷元dq2的集合，则电场对每个电荷元的作用力为dF?Edq2；各电荷元的dF的矢量和，即为带电直线AB所受的电场力。

解二：在距无限长带电直线x处任取一电荷元dq2??2dx，由无限长带电直线的场强公式可知

dq2处的场强为：

E?方向沿x袖正向。于是有

?1 2??0xdx

dF?Edq2?12??0??1?2x由于各电荷元所受力的方向均沿x轴正向，所以：

F?Fx??dF??a?ba?2?2dx?2?2a?b ?ln2??0x2??0a若问题中的?1和?2异号，则F沿x轴负向。根据作用力与反作用力的关系可知，无限长带电直线所受的作用力F`，其大小与F相等，其方向与F相反。

7-14 求无限长均匀带电圆柱面内、外场强E的空间分布。设圆柱面半径为R。电荷面密度为?。

分析：由题可知，无限长均匀带电圆柱体的电荷分布具有柱对称性，因而其产生的电电场强度也具有柱对称分布，由高斯定理求解较为方便。

解：如习题7-14图解所示，过圆柱面内、外任一点作高为l的圆柱形高斯面，根据高斯定理

65

习题7-14图解

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??SE?dS??q?0i，有：

当r?R时，E?2?r?l?0，E?0； 当r?R时，E?2?r?l???2?R?l?R，E?r； 2?0?0r7-15求均匀带电球体内、外的场强分布，已知球体半径为R，所带总电荷为q。

分析：由题可知，电荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。因此，在电场强度的空间中任意点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。

解：以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为：

2?e??E?dS?4? rE ?s根据高斯定理，有：

2?e???E?dS?4? rE?sQ?0 (1)

当场点在球体外，即r?R时，Q?q，由(1)式可得电场强度为：

E球外＝q4??0r2q习题7-15图解

43qr3?r?3，由(1)式可得电场强度为： 当场点在球体内时 即r?R时，Q?4R?R333E球内＝其E?r曲线如习题7-15图解所示。

qr4??0R3

7-16求均匀带电细棒中垂面上的电场和电势。设棒长2l，带电量为q。 分析：由于电势是标量，可由电势叠加原理先求出带电直线在P点的电势，再由场强与电势的微分关系求P点的场强。

解：建立如习题7-16图解所示的直角坐标系，并取带电直线中心为坐标原点O。则在带电直线上任取一电荷元dq??dy?P点产生的电势为：

qdy，在2ldVp?dq4??0x?y22 习题7-16图解 因此，整个带电系统在P点产生的电势为

Vp??dV??qdy?ldqql?l2?x22l???ln[]

2222?l4??lx4??0x?y4??0x?y0 66

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则该点的场强为：E?Exi?Eyj，其中：

Ex??所以，P点的场强为：

?V?Vq，Ey???0 ??y?x4??0xl2?x2E?Exi?q4??0xl?x22i

7-17求均匀带电球体的电势。已知电荷q均匀地分布在半径为R的球体上，求空间个各点的电势。

分析：由题可知，均匀带电球体的电荷分布具有球对称性，其电场分布也具有球对称性。因而可由高斯定理方便地求得其电场分布，再由电势的定义求得其电势分布。

解：由高斯定理可求出电场强度的分布

?q r?R2??4??0r 方向沿径向。 E＝?qr? r?R3?4??R0?由电势的定义式V???rE?dl，可得：

当r?R时，有： V球外＝当r?R时，有：V球内＝??q4??0r2rdr?q4??0r

?Rr?qrqq(R2?r2)q dr?dr??323?R4??0R4??0r8??0R4??0R7-18 如图7-72所示，AB?2l，OCD是以B为中心、l为半径的半圆，A点有点电荷?q，B点有点电荷?q。求

（1）把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它做了多少功? （2）单位负电荷从D点沿AB延长线移到无穷远处，电场力对它做了多少功? 分析：由Wab?q(Ua?Ub)可知，要求在电场中移动电荷时电场力所做的功，应先求出始末位置的电势大小。

解：由点电荷在空间某点产生的电势公式V?得：

q4??0r可

??qqq?VD?????

4??03l4??0l6??0l??V??0?VO?0由Wab?q(Ua?Ub)可得： (1)WOD?1?(VO?VD)?图7-72 习题7－18图解 q6??0l

67

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(2)WD??(?1)?(VD?V?)?q6??0l

?107-19 在玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为0.53?10(2)电子的电离能为多少?

m的圆周绕原子核旋转。求：

(1)若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功?

分析：由Wab???Ep可知，克服电场力所做的功等于电势能的增量，电子的电离能等于外界把电子从原子中拉出来需要的最低能量，其能量应等于动能和势能之和。

解：(1)电子在玻尔轨道上作圆周运动时，它的电势能为：

1e2 Ep??4??0r因此，若把电子从原子中拉出来需克服电场力作功为：

W?Ep?e24??0r?27.2eV

(2)电子在玻尔轨道上作圆周运动所需向心力为静电力，即：

1e2m?2 ?4??0rr电子的动能为：

12e2 Ek?m??28??0r总能量为：

E?Ek?Ep??e28??0r??13.6eV

根据电离能的定义：电子的电离能等于外界把电子从原子中拉出来需要的最低能量，即：

E0?E?13.6eV

7-20 如图7－73（a）所示，半径为R1的导体球，带有电量?q，球外是一个内、外半径分别为

R2、R3的同心导体球壳，球壳上的带电量为?Q。试求：

（1）求场强和电势分布；

（2）若用导线连接两球后，电势分布如何? （3）若外球接地，两球电势各为多少? （4）若内球接地，内外两球的电势差为多少?

(1) 分析：根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布规律，导体球壳内表面所带的电荷?q，外表面所带的电荷为q?Q，电荷在表面均匀分布，具有球对称性，可由高斯定理求得电场强度分布，再由电势的定义求得电势分布。

解法一：由于场的分布具有对称性，由高斯定理可得各区域的场强分布为：

图7-73 习题7－20图解(a) 68

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E1?0 （r?R1)， E2?E3?0 （R2

q4??0r2 （R1

q?Q （r>R3) 24??0r导体为有限带电体，选无限远处为电势零点。由电势定义可分别求得电势分布为： 当r?R1时

V1??E1?dr??E2?dr??E3?dr??E4?drrR1R2R3R1R2R3? ?? ?当R1

R2q4??0r(2R1dr??q?QdrR34??r20?

14??0qqq?Q??)R1R2R3R2R3?V2??E2?dr??E3?dr??E4?drrR2R3 ?? ?当R2?r?R3)时

R2q4??0r2rdr??q?QdrR34??r20?

qqq?Q(??)4??0rR2R3R3?1V3??E3?dr??E4?drrq?Qq?Q ??dr?R34??r24??0R30?R3当r?R3时

V4??E4?drr?q?Q ?4??0r

（2）分析：当用导线把球和球壳连接在一起后，由静平衡条件可知，电荷q?Q全部分布在球壳的外表面上，如图7-73 (b)所示，此时，电场只分布在r?R3的空间中，即

E?q?Q?2。同时球体与球壳成为一个等势体，即4??0r解：根据电势的定义，可得 当r?R3时

1图7-73 习题7－20图解 (b) V1?V2，于是?V?V1?V2?0。

69

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R3?V1?V2??E3?dr??E4?dr??rR3q?Qq?Q ?2dr?R34??r4??0R30?1当r?R3时

V??E?dr??r??rq?Qq?Q ?2dr?4??0r4??0r1（3）分析：若外球接地，球壳外表面的电荷为零，等量异号电荷分布在球体表面和球壳内表面，此时电场只分布在R1?r?R2的空间内，如图7-73 (c) 所示。

解：由于外球壳电势V2?0，则内球体内任一场点P1 (r?R1)的电势由定义可得：

V1??E1?dr??E2?drrR1R1R2 ??R2R111E2?dr?(?)4??0R1R2q

图7-73 习题7－20图解 (c) （4）分析：当内球接地时，内球的电势V1?0。但无限远处的电势也为零，这就要求外球壳所带电量在内外表面上重新分配，使球壳外的电场沿着径向指向无限远处，球壳内的电场沿着径向指向球心处。因此，内球必然带负电荷。因为内球接地，随着它上面正电荷的减少，球壳内表面上的负电荷也相应减少。当内球上的正电荷全部消失时，球壳内表面上的负电荷也消失完。但就球壳来说，仍带有电荷+Q，由于静电感应，在内球和大地这一导体系统中便会感应出等量的负电荷-Q，此负电荷(-Q)的一部分(设为?q`，)均匀地分布在内球表面上。球壳内表面上将出现等量的正电荷(?q`)与之平衡。因此，在达到静电平衡后，内球带电荷?q`，球壳内表面带电量为?q`，外表面上带电量(Q?q`)，如图7-73 (d)所示。

解：

方法一：根据高斯定理可知．各区域内的场强分布为：

?E1?0 (r?R1)??E2??q`2 (R1?r?R2)4??0r? ?E?0 (R?r?R)23?3?Q?q` (r?R3)?E4?24??r0?球壳上任一场点P2(R2?r?R3)相对于无限远处和相对于接地内球的电势，应用电势定义式分别计算，可得：

图7-73 习题7－20图解 (d) V2??E3?dr??E4?dr=?rR3R3?Q-q`Q-q` dr=R34πεr24πε0R30?V2??E3?dr??E2?dr=?E2?dr=?rR2R2R2R1R1R1R2(-q`)q`11dr=(-) 24πε0r4πε0R1R2联立上述两式，可得：

70

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q`?R1R2Q

R1R2?R3R2?R1R3将q`的结果代入V2的表达式中，可得：

V2?相应的球体与球壳间的电势差为：

R2?R1 ?4??0R1R2?R3R2?R1R3QR1?R2 ?4??0R1R2?R3R2?R1R3Q?V?V1?V2??V2?方法二： 亦可根据带电导体球的电势公式及电势叠加原理进行求解。根据电势叠加原理，电势V1是由?q` (r?R1的球面)、?q`(r?R2的球面)和Q?q`(r?R3的球面)在内球体中任一场点

P1(r?R1)共同产生的电势的叠加。由于内球接地，有：

V1?14??0(?q`q`Q?q`??)?0 R1R2R3在外球壳体中任一场点P2(R2?r?R3产生的电势为：

V2?联立上述两式，也可解得

14??0(?q`q`Q?q`Q?q` ??)?rrR34??0R3V2?相应的球体与球壳间的电势差为：

R2?R1 ?4??0R1R2?R3R2?R1R3QR1?R2 ?4??0R1R2?R3R2?R1R3Q?V?V1?V2??V2?7-21 三块平行金属平板A、B、C，面积都是

S?100cm2，A、B相距d1＝2mm．A、C相距d2＝4mm，

B、C接地，A板带正电荷q?3?10?8C，忽略边缘效应。如图7－74(a)所示求：

（1）B、C板上的电荷是多少? （2）A板的电势是多少

分析：由高斯定理可方便得出：处于静电平衡的平行导体板，相对的两个面应带等量异号电荷。此外，当B、C两

板接地时，VB?VC?VBC?0，导体电势的改变将会引起导体表面电荷的重新分布，但电荷的分布依然满足相对面等量异号；相背面等量同号的规律，以使导体内部E?0，维持导体的静电平衡，根据电荷分布可确定导体板间的电势差。

解：(1)设导体板上电荷面密度分布如图7-74 (b)所示，忽略边缘效应，根据VAB?VAC和A板上的电荷量恒不变。则有

图7-74 习题7－21图解（a） 71

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?(?1??2)S?q? ?2??1??d1??d20?0qd2????1(d?d)S?12由上述方程可得?，则B、C板上的电量分

qd1???2?(d1?d2)S?别为：

qd2?q?S????2?10?8C1?B(d1?d2)? ?qd1?q?S????1?10?8Cc2?d1?d2?

(2)由V?dE可得A板的电势为：

图7-74 习题7－21图解（b） VA?d1?1?452V ?0??，7-22计算两条带异号电荷的平行导线单位长度的电容。设导线的线电荷密度分别为??、导线的半径为a，相隔的距离为d(d?a)，且两导线为无限长，如图7－75（a）所示。

图7-75 习题7－22图解（a）

图7-75 习题7－22图解(b)

分析：由题可知，长直导线电荷分布具有柱对称性，因而电场分布也具有柱对称性，可由高斯定理进行求得，据此可由场强的叠加原理求得导线间的电场分布，由电势差的定义求得两导线间的电势差，由电容的定义式求得电容。

解：如图7-75 (b)所示，由叠加原理和高斯定理可求得两导线之间垂直连线上任意一点P的场强。以导线A的轴线为轴以r为半径，作过P点的圆柱形高斯画，柱长为l，则由对称性分析可知：

??由于

SE1?dS?E1?2?lr??q

?0?q???dl??l代人上式得：

72

第三篇 电磁学

E1?同理可得，导线B在P点产生的场强为：

? 2??0r?E2?2??0(d?r)

由于E1和E2的方向均是由带??电荷线密度的导线指向带??电荷线密度的导线，故P点的总场强为：

E?E1?E2?则两导线之间的电势差为：

?11(?) 2??0rd?r?V??d?aa?E?dl?2??0?d?aa11?d?a (?)dr?lnrd?r??0a因此，单位长度导线上的电容为：

C???0C`? ??d?al?VlnaC?由题意可知，d?a，则d?a?d，所以：

??0dlna

7-23半径为R的导体球，带有正电荷Q，球外有一同心均匀电介质球壳，其半径分别为a和b，相对电容率为?r，如图7－76所示。试求：

(1)介质内外的电位移D和场强E；

(2)介质内的极化强度P和介质表面的极化面电荷密度?`； (3)离球心为r处的电势V； (4)画出D(r)、E(r)和V(r)的曲线。

分析：自由电荷和极化电荷均匀分布在球面上，电场呈球对称分布，取同心球面为高斯面，根据介质的高斯定理可球得介质中的电场分布，由D??0E?P可求得介质内的极化强度，由?`?P，可求得介质内外表面上的极化电荷面密度，由于电荷分布在有限空间，通常取无穷远处为零电势，由V?图7-76 习题7－23图解（a） ? ?aE?dl可求得电势分布。

解：(1)依题意，电场分布球面对称，如图7-76 (b)，过点1(r?R)，2(R?r?a)，3(a?r?b)，4(r?b)分别作球形高斯面，根据介质中的高斯定理

??D?dS??qS0和D??E有：

D1?4?r12?0 D1?0 E1?0 D2?4?r22?Q D2?QQ E?2224?r24??0r2 73

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D3?4?r32?Q D3?D4?4?r42?Q D4?(2)介质内的极化强度为：

QQ E?3224??0?rr34?r3QQ E?4224?r44??0r4Q1(1?) 24?r3?rP?D??0E?方向与矢径一致。

由?`?P可得介质内外表面上的极化电荷面密度分别为：

Q1??`=-(1?)2?4?a?r? ???`=-Q(1?1)外?4?a2?r?方向如图7-76 (c)所示。

图7-76 习题7－23图解(b) (3)根据V?为：

图7-76 习题7－23图解(c)

?0 aE?dl或三个均匀带电球面产生的电势的叠加,可得图7-76(d)中各点的电势分别

V1??E1?dr??E2?dr+?E3?dr+?E4?dr0RabRab?1111 =[?(1?)(?)]4??0R?rabab?RabQ

V2??E2?dr+?E3?dr+?E4?dr1111 =[?(1?)(?)]4??0r2?rabV3??E3?dr+?E4?drabb?Q

1?r?1 =[?]4??0?rr3bQ 74

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?V4??E4?dr=bQ4??0r4

(4) D(r)、E(r)和V(r)的曲线如图7-76 (e)所示。

图7-76 习题7－23图解(d)

图7-76 习题7－23图解(e)

7-24实验表明：在靠近地面处的电场强度约1.0?102N/C，方向指向地球中心,在离地面

1.5?103m高处，电场强度约为20N/C，方向也是指向地球中心.试求：

(1)地球所带的总电量；

(2)离地面下1.5?10m的大气层中电荷的平均密度。

分析：将地球视为均匀的带电球休，其电荷分布具有球对称性，因而电场分布也具有球对称性，可由高斯定理求出地球所带电量，然后再求电荷密度。

解：(1)根据电场分布的对称性，以地球中心为球心，以近似于地球半径R为半径作同心球面为高斯面．则由高斯定理有：

3??故：

SE?dS?E1cosπ?4πR2q??i?0?q1?0

q1??4??0R2E1??4.6?105(C)

(2) 以r?R?h为半径作同心球面为高斯面，则由高斯定理有：

??得：

SE?dS?E2cos??4?r2??q?0i?q2?0

q2??4??0r2E2

则大气的电荷平均体密度为：

75

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??q2?q14?(r3?R3)3?4.72?10?13(c?m?3)

综合练习题

一、填空题

1、 如图7-77所示，半径为R的半球面置于场强为E的均匀电场中，其对称轴与场强方向一致，如图所示，则通过该半球面的电场强度通量为__ _______。

2、半径为R、带电量为q的均匀带电圆环环心处的电场强度为 。

3、在点电荷?q的电场中，若取图7-78中P点处为电势零点，则P点的电势为 。 4、两个点电荷电量分别为q1，q2，当它们相距为r时，两电荷之间的相互作用力F＝ 若

?q1?q2?Q，欲使F最大，则q1:q2? 。

图7-77 图7-78

图7-79

5、 半径为R的均匀带电球面，带电量为q，若取无限远处为电势零点。则球心处的电势V0＝ ，球面外离球心r处的电势Vr＝ 。

6、半径为R1的金属球外有一层相对电容率为?r?2的介质球壳，其外半径为R2，若金属带电为q，如图7-79所示。 则介质外离球心r处的电场强度E＝ ，介质内离球心r处的电场强度E`= 金属球心处的电势 V= 。

7、极板面积为S，间距为d的平行板电容器，接入电源，保持电压V恒定，此时若把间距拉开为2d，则电容器中的静电能改变了 。

8、如图7-80所示，把一块原来不带电的金属板B，移近一块已带有正电荷Q的金属板A，平行放置。设两板面积都是S，板间距离是d，忽略边缘效应。当B板不接地时，两板间电势差U= ，B板接地时，两板间电势差U′= 。

二、选择题 1、高斯定理

??Sq?E?dS?i?0中： （ ）

图7-80

76

A、 其值与曲面外的电荷有关；

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B、 场强E与曲面外的电荷无关； C、 场强E与曲面外的电荷有关； D、 以上说法都不对。

2、以下说法正确的是： （ ） A、电势均匀的空间电场强度一定为零； B、电场确定不变的空间电势一定为零； C、电势较高处，电场确定一定较大； D、电势较低处电场强度一定较大。

3、平行板电容器充电后仍与电源连接，若将极板间距拉大，则极板上的电量Q，电场强度E和电场能量We将作（ ）变化。

A、Q增大，E增大，We增大 B、Q减小，E减小，We减小 C、Q增大，E减小，We增大 D、Q减小，E增大，We增大

??图7-81 图7-82

4、如图7-81所示，若将负点电荷q从电场E中的点a移至点b，下列正确者是：（ ） A、电场力做负功 B、电场强度Ea?Eb C、电势能减少 D、电势Va?Vb 5、静电场的环路定理 A、保守力场； B、非保守力场； C、均匀场； D、非均匀场。

6、如图7-82所示，闭合曲面S内有—点电荷q，P为S面上一点，在S面外A 点有—点电荷q`，若将q`移至B点，则：（ ）

A、穿过S面的电通量改变、P点的电场强度不变； B、穿过S面的电通量不变，P点的电场强度改变； C、穿过S面的电通量和P点的电场强度都不变；

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??E?dl?0表明静电场是：( )

第三篇 电磁学

D、穿过S面的电通量和P点的电场强度都改变。

7、若静电场由电荷Q所产生，试验电荷为q。当用电场强度的定义式E?荷Q和q的要求是：( ) A、Q和q都必须是点电荷； B、Q为任意电荷，q必须是点电荷； C、Q为任意电荷，q必须是正点电荷； D、Q为任意电荷，q必须是单位正电荷。

8、边长为l的正方形，在其四个顶点上各放有等量的点电荷，如图7-83所示。若正方形中心O处的场强值和电势值都等于零，则：( ) A、顶点a、b、c、d处都是正电荷；

B、顶点a、b处是正电荷，c、d处是负电荷； C、顶点a、c处是正电荷，b、d处是负电荷； D、顶点a、b、c、d都是负电荷。 三、计算题

1、在相距为2R的点电荷+q和-q的电场中，把点电荷+Q从O点沿OCD移到D点，如图7-84所示。则电场力做功与+Q电势能增量分别为多少？

图7-83

F 确定E时，对电q图7-84 图7-85

22、如图7-85所示，三块平行的金属板A、B、C的面积均为200cm，A、B相距2mm，A、C相距4mm，B、C两板均接地。若A板所带电量Q=3.0×10C，忽略边缘效应,求： （1）B、C上的感应电荷；

（2）A板的电势（设地面电势为零）。

3、内外半径分别为R1，R3的金属球壳内有一半径为R1的金属球，两者同心放置，其间填满相对电容率为?r的均匀介质，若内球带电为q，外球壳带电为Q。求内球的电势和介质外表面的极化电荷。

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