B的距离之和，其中A与B在x轴的同侧，当P、A、B三点共线时，y取最小值|AB|．

形如y?x2?A1x?B1?x2?A2x?B2的函数的几何意义是x轴上的动点P到两定点A与

B的距离之差，其中A与B在x轴的异侧，且|PA|?|PB|，当P、A、B三点共线时，y取最大值

|AB|．

我们还可以将此推广到二元函数中：

例5 已知x?y?4x?6y，求z?8x?6y?4?6y?4的最小值． 解析：

22z?(4x?6y)?4x?4?(4x?6)?4x?4?x2?y2?4x?4?x2?y2?4x?4?(x?2)2?y2?(x?2)2?y22222将x?y?4x?6y化为(x?2)?(y?3)?13，它表示以C(2,3)为圆心，以13为半径的圆．Z

表示圆上的点到点A(?2,0)与B(2,0)的距离之和．如图4，点A在圆外，点B在圆内，线段AB与圆交于原点O，点O到A、B的距离之和最小．因此，当x?0,y?0时，z最小为4．

yCox

图4

2、构造斜率解题

例6 已知实数(x?2)?y?3，求

22A

By的最大值和最小值． xy表示该圆上x22解析：如图5，方程(x?2)?y?3表示以C(2,0)为圆心，以3为半径的圆，

的动点P(x,y)与原点O连线的斜率．过原点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则OA斜率为所求最大值，OB斜率为最小值．由于|OC|?2,|AC|?|BC|?3，A、B为两切点，故|OA|?|OB|?1，

5

点A、B的坐标分别为(,1313)和(,?)，故的最大值为3，最小值为?3． 2222yAoBCx

图5

联想直角坐标平面内两点连线的斜率公式k?y1?y2，我们可以得出：

x1?x2如上题所给，给定限制x,y的条件，求连线的斜率的最值．

y?a即求动点(x,y)与定点(a,b)(a?R,b?R)的最值，

x?ba?sinx的最值

b?cosx我们也可以将x,y的限制条件直接加入所求函数中，像是“求函数y?，即是求定点 (a,b)与动点(sinx,cosx)连线的斜率的最值，而动点(sinx,cosx)是(a?R,b?R)”单位圆的参数坐标．

3、构造点到直线的距离解题

例7 设x?y?1,x?0,y?0，则x?y的最小值为多少？

解析：由于x?0,y?0，故x?y?1可以看作是一条线段，则x?y?(x?0)?(y?0)可以看作是该线段上一点到原点的距离的平方．由图6可知，其最小值显然是原点到线段的距离

2222y221Po图6

1x|OP|的平方，故

|OP|2?(|0?0?1|2)2?1. 2 本题解法较多，可转化为一元二次函数再配方求最值，也可用均值不等式求最值，还可用构造法解题．但较之其他方法，构造法更具一般性且计算简单．例如将本题改为“设x?2y?3?0，求

x2?6x?y2?2y的最小值”，由于不具备x?0,y?0这个条件，使得均值不等式不能使用，转化为

6

一元二次函数再配方也显得麻烦，但用构造法仍十分简单．

4、构造直线方程解题

例8 已知实数x,y满足x?y?2x?4y?0，求x?2y的最值．

2222解析：x?y?2x?4y?0可变为(x?1)?(y?2)?5，这可看作是以(1,?2)为圆心，5

22为半径的圆的方程，且点(x,y)在该圆上．可设x?2y?t，则y?xt?，若求x?2y的最值即是求22xt?t?在y轴上的截距最小． 222?txt反之，t取最小值时，最大，所以只要求直线y??与圆有公共点时，该直线与y轴上的

222xt截距的最值即可．由图7可知，当直线y??与圆相切时，该直线与轴的截距达到最大或最小，由

22t的最值，而t取最大值时，直线y?|1t?1?(?1)?(?2)?|22?5， 1()2?(?1)22有t?0或t?10，所以x?2y的最小值为0，最大值为10． y1–2–1o–1–2–3–4–5123xC 图7 对于“给定二次函数，求ax?by的最值”这类问题，令ax?by?t，经过变形得到直线方程y??axt?，然后根据t与直线在y轴上的截距的关系，通过二次函数对x,y的限制求得最值． bb5、构造圆锥曲线解题 例9 x?y?2x?1?2222x2?y2?2x?1?8，求x2?y2的最大值．

x2?y2?2x?1?8

解析：可以把x?y?2x?1? 7

化为(x?1)2?(y?0)2?(x?1)2?(y?0)2?2?4，其几何意义为直角平面坐标内点(x,y)到点(?1,0),(1,0)的距离之和为8，于是我们可以认为点(x,y)是以定点(?1,0),(1,0)为焦点，以8为长轴长的椭圆上任一点，而x?y可以认为是该椭圆上的点到原点距离的平方，由椭圆几何性质可知

22x2?y2的最大值为42?16．

这类问题所给条件与构造两点间的距离颇为相似，我们可以得出： 形如

(x?a)2?(y?0)2?(x?a)2?(y?0)2?b(a?R,b?R)

的几何意义是直角平面坐标内点(x,y)到点(?a,0),(a,0)的距离之和为b，其中两定点对称且在坐标轴上，故由椭圆的定义，我们可认为(x,y)是以定点(?a,0),(a,0)为焦点，以b为长轴长的椭圆上任一点，再由椭圆的性质解题．

形如

(x?a)2?(y?0)2?(x?a)2?(y?0)2?b(a?R,b?R)

的几何意义是直角平面坐标内点(x,y)到点(?a,0),(a,0)的距离之差为b，其中两定点对称且在坐标轴上，故由双曲线的定义，我们可认为(x,y)是以定点(?a,0),(a,0)为焦点，以b为实轴长的双曲线上任一点，再由双曲线的性质解题．

利用几何的知识对二次函数的最值问题进行求解，就是要揭示其几何意义．寻找问题所具有的几何意义是非常重要的，因为它直接影响到我们能否构造出合适的几何模型,从而将一个函数的最值问题通过这个模型转化为一个可解的几何问题,使求解问题的方法更为简洁而有效．构造法是构建数学模型的重要方法，不仅能够解决二次函数的最值问题，对于其他函数，例如次数大于二的多次函数，无理函数，三角函数，不等式等的最值问题，也可以通过构造法得以解决．

三、生活中的最优化问题

在生产生活中，要在尽力节省人力，物力，财力和时间的前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，这类问题称为最优化问题．在某些情况下，最优化问题也就是最值问题，以下示例给出了我们在生产生活中所常见的最值问题．

1、例11 小区门前有片空地，空地外有面长为十米的围墙，为美化生活环境，要修建一矩形花圃，已买回了32米的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间在围出一条宽为一米的通道以及在左右花圃各放一个一米宽的门，花圃如何设计才能使面积最大．

解析：设花圃宽为x米，面积为S(x)平方米． 有S(x)?x(32?4x?2)??4(x?17228917)?，由于0?34?4x?10，故6?x?，又由442 8