然后将?1,?2,,?r单位化：

e1?容易验证，e1,e2,1||?1||?1? e2?1||?2||?2? ? er?1||?r||?r

,er是V的一个规范正交基，且与?1,?2,,?r等价．

,?r的过程称为施密特

,?k等价．

上述从线性无关向量组?1,?2,,?r导出正交向量组?1,?2,正交化过程．它满足：对任何k(1?k?r)，向量组?1,?2,例4．20 试用施密特正交化过程将线性无关向量组

,?k与?1,?2,?1?(1,1,1)T,?2?(1,2,3)T,?3?(1,4,9)T

规范正交化． 解 取

?1???1?[?, ?2]????1??1??1??? ?2??2?11???0?，[?, ?]11?1??1??????1?[?, ?][?, ?]1??3??3?13?1?23?2???2 ??[?1, ?1][?2, ?2]3???1?再取

?3??21??1??1??e1?1?1e??0e???2? ，，23?????||?1||||?2||||?3||3??2??6???1??1??1?e1,e2,e3即为所求．

定义4．14 若n阶方阵A满足AA?E（即A?A）， 则称A为正交矩阵，简称正交阵．

正交阵有下述性质：

（1）若A为正交阵，则A?A也是正交阵，且A??1；

（2）若A和B都是正交阵，则AB也是正交阵；

（3）方阵A为正交阵的充要条件是A的n个列（行）向量构成向量空间R的一个规范正交基．

证 性质（1）、（2）显然成立．下面证明性质（3）． 只就列向量加以证明．设A?(a1,a2,n?1TT?1T?1???1??1?,an)，因为

20

T?a1??T?a2?T?AA?(a,a,???,an) ??12??aT???n?所以

ATA?E?(aiTaj)?(?ij)

即A为正交阵的充要条件是A的n个列向量构成向量空间Rn的一个规范正交基． 定义4．15 若P为正交阵，则线性变换y?Px称为正交变换． 设y?Px为正交变换，则有

||y||?yTy?xTPTPx?xTx?||x||

由此可知，经正交变换两点间的距离保持不变，这是正交变换的优良特性．

21

4．7 秩的计算、向量的正交化实验

1．矩阵秩的计算

矩阵秩的计算是调用函数rank（）

>> A=[-10，4，-6，8;4，-1，6，-2;5，7，9，-6;0，9，6，-2] A =

－10 4 -6 8 4 -1 6 -2 5 7 9 -6 0 9 6 -2

>> rank（A） ans = 3

向量组 a，b，c，d的秩可用下列语句求出： >> rank（[a b c d]）

2．向量组的线性相关性与最大无关组

对于一个m个向量组A是否线性相关，我们可以通过求向量组的秩来判断，如果rank(A)=m，则线性无关，如果rank(A)

例如，键入a，b，c，d四个向量 >>a=[1 -1 2 4]'; >>b=[0 3 1 2]'; >>c=[-3 3 7 14]'; >>d=[4 -1 9 18]';

将a，b，c，d并为一个矩阵u： >>u=[a b c d] >>rank(u) ans =

3

u的秩为3，所以组a，b，c，d线性相关．

而使用下列语句，不仅可以求出u的行标准阶梯矩阵，还给出了线性无关向量组在原矩

22

阵中的列数，这实际上就是最大无关组．

[uip]=rref（t） u=

1 0 0 4 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0

ip =

1 2 3

这表明u中第1，2，3列向量线性无关，即向量a，b，c线性无关 3．向量的内积与正交性

（1）求两个向量a ，b的内积，可把a 设为行向量，将b设为列向量，a与b作矩阵乘法求出a与b的内积．

>>a=[1 2 -3 4]'; >>b=[2，-3 4 8]'; >>p =

16

（2）求向量a的模可调用函数 norm（） >> norm(a) ans = 5．4772

（3）求向量 a和b之间的交角 >>thita=acos((a*b')/(norm(a)*norm(b))) thita =

1．2630

要将线性无关的向量组 a，b，c，d 化为标准正交基，可先将向量组并为一个矩阵u，再调用正交分解程序 [Q，R]=qr()，结果将矩阵u分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵的乘积．Q中前4个行向量，相当于施密特正交化方法得到的标准正交向量，加上最后一行补充的标准正交向量，构成五维线性空间的标准正交基．

例如将线性无关的向量组a，b，c，d正交化，先对a，b，c，d赋值：

23