第4章 矩阵的秩与n维向量空间

本章主要内容：n维向量的概念与线性运算 向量组的线性相关 线性无关的

概念及其有关的重要理论 向量组的最大无关组 向量组的秩 矩阵的秩与向量组的秩之间的关系 向量空间与子空间 基底与维数 向量的坐标与坐标变换公式 向量的内积 正交矩阵

教学目的及要求：理解n维向量的概念，掌握向量的线性运算．理解向量组

的线性相关，线性无关的定义及有关的重要结论．理解向量组的最大无关组与向量组的秩，理解矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，并掌握用初等变换求向量组的秩．理解基础解系的概念，了解n维向量空间及子空间，基底，维数，坐标等概念．掌握向量的内积及其性质、向量的长度及其性质、正交向量、正交向量组及其性质、正交规范化方法以及正交矩阵及其性质．

教学重点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论；向量组

的正交规范化的方法；正交矩阵的概念及其性质．

教学难点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论；施密特

正交化方法及应用

教学方法：启发式 教学手段：讲解法 教学时间：8学时 教学过程：

4．1 矩阵的秩

矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征，是矩阵在初等变换下的一个不变量，它能表述线性代数变换的本质特性，矩阵的秩在研究n维向量空间的空间结构及向量之间的相互关系中起着重要的作用．

定义4．１ 设A是一个m?n矩阵，任取A的k行与k列(k?m,k?n)，位于这些行列交叉处的k个元素，按原来的次序所构成的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．

kkm?n矩阵A的k阶子式共有CmCn个．

2定义4．2 设A是一个m?n矩阵，如果A中至少存在一个非零的r阶子式D，且所有r?1阶子式（如果存在的话）全为零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)．

并规定零矩阵的秩等于0． 由上述定义可知：

（1）R(A)是A的非零子式的最高阶数； （2）0?R(Am?n)?min{m,n}；

（3）R(A)?R(A)；

（4） 对于n阶方阵A，有R(A)?n?A?0． 例4．1 求矩阵A和B的秩，其中

T?25?1??123?1?????A??003?，B??0?1?11?．

?04?2??0000?????解 由于A?0，因此R(A)?3．由于B的所有3阶子式全为零，显然

12

0?1

是B的

一个二阶非零子式，因此R(B)?2．

对于行、列数较多的矩阵A，用秩的定义计算R(A)，有时要计算很多个行列式，工作量相当大．此时，通常用初等变换来计算R(A)．下面介绍这种方法，为此，先证明一个很重要的定理．

1

定理4．1 若A~B， 则R(A)?R(B)．

证 先证明：若A经一次初等行变换变为B，则R(A)?R(B)．

设R(A)?r，且A的某个r阶子式D?0．设 D是由矩阵A中的第i1，i2，…， ir行与第j1，j2，…， jr列交叉元组成的，A经一次初等行变换变为B，变换后的D在B中

'''的位置为第i1，i2，…， ir行与第j1，j2，…， jr列，有这些行列交叉元组成的r阶子

式记作D1，显然，D1是由D经过一次初等变换得到的， 从D?0可推出D1?0，从而由于B亦可经一次初等变换变为A，故也有R(B)?R(A)，因此R(A)?R(B)． R(B)?r．

从而，若A~B，则R(A)?R(B)．

于是，A~B，则A~BT，故R(A)?R(A)?R(B)?R(B)． 由此得证，若A~B，则R(A)?R(B)．证毕． 例4．2 设

cTrTTr?14?1?3?83A???2?21???2?82求R(A)，并求A的一个最高阶非零子式．

解 由于

2??6?1?

10??2?3?2?14?1?3?83?A(a1,a2,a3,a4,a5)??2?21???2?82r2?r1?r3r4?r3r3?2r12??6?1?

10??2?3?24?122??1??0?1033?3?~ ?r4?r2?000?6?1?r3?r2??00000??(b1,b2,b3,b4,b5)B，

显然R(B)?3，因此R(A)?3．

可见，

2

A14?1?3?8(a1,a2,a4)???2?2???2?82?2??14???6?r0?103?(b1,b2,b4)??~?00?6?1????2?0??00B1，

显然，R(B1)?3，所以R(A1)?3，故A1中必有3阶非零子式．A1的前三行构成的子式：

1423?86?60?0 2?21也是A的一个最高阶非零子式．

例4．3 设

?k11??A???1k1??，b??1??k??，B?(A,b)

??112????2??问k取何值，可使

（1）R(A)?R(B)?3；（2）R(A)?R(B)；（3）R(A)?R(B)?3．

解 由于

?1?r3?1122?rr3??r(22B??k111?r2?1)??1k1k?r2?r1?~??0k?1?1k?2??1101?1??1122??r?3?kr1??01?k1?2k1?2k??r~?1)?k3?(??002k因此

（1） 当k?0且k?1时，R(A)?R(B)?3；

（2） 当k?0时，R(A)?2,R(B)?3,R(A)?R(B)；

?1122??1122?r（3） 当k?1时，??01?k12?k??????0011??2r?11232?~??001?002kk?1????0022????000R(A)?R(B)?2?3．

矩阵的秩的性质：

① 0?R(Am?n)?min{m,n}． ② R(AT)?R(A)．

3

2?2?k?k?1? ??2?1?0?，

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