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（2）解：作CH⊥BQ交BQ于H, 则PQ＝2HQ

在Rt△BHC中 ，由已知和（1）得∠CBH＝∠CAO＝30°，∴ CH＝4

在Rt△CHQ中，HQ＝CQ2?CH2?52?42?3

∴PQ＝2HQ＝6

11. （2011江苏扬州，23,10分）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC， （1）求证：△ABC是等腰三角形；

（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由。

【答案】（1）证明：∵OB=OC ∴∠OBC=∠OCB

∵BD、CE是两条高 ∴∠BDC=∠CEB=90° 又∵BC=CB ∴△BDC≌△CEB（AAS） ∴∠DBC=∠ECB ∴AB=AC

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∴△ABC是等腰三角形。

（2）点O是在∠BAC的角平分线上。连结AO.

∵ △BDC≌△CEB ∴DC=EB, ∵OB=OC ∴ OD=OE

又∵∠BDC=∠CEB=90° AO=AO ∴△ADO≌△AEO（HL） ∴∠DAO=∠EAO

∴点O是在∠BAC的角平分线上。

12. （2011广东省，21，9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）. （1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ； （2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；

（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？

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【解】（1）△HGA及△HAB； （2）由（1）可知△AGC∽△HAB ∴

x9CGAC，即?， ?9yABBH81 x1（3）当CG＜BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH

2所以，y?∵AG＜AC，∴AG＜GH 又AH＞AG，AH＞GH

此时，△AGH不可能是等腰三角形；

当CG=BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形； 此时，GC=12992，即x=2 2212当CG＞BC时，由（1）可知△AGC∽△HGA 所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH 若AG=AH，则AC=CG，此时x=9 综上，当x=9或92时，△AGH是等腰三角形． 213. （2011湖北黄冈，18，7分）如图，在等腰三角形ABC中，∠

ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，

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交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长． A D E B

第18

F

C

【答案】连结BD，证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，求得EF=5 14. （2011湖北襄阳，21，6分）

如图6，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE. ①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②?③；①③?②；②③?①.

（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答） ；

（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.

ABDEC图6

【答案】（1）①②?③；①③?②；②③?①. ··············· 3分 （2）（略） 6分

15. （2011山东泰安，29 ，10分）已知：在△ABC中，AC=BC，

∠ACB=900，点D是AB的中点，点E是AB边上一点。

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