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（3）①×；②√；③√。
8. （2011浙江义乌，23，10分）如图1，在等边△ABC中，点D是
边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP. 将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.
（1） 如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在 ▲ 关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；
（2）如图2，设∠ABP=β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过
程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合. 已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面
积为S，求S关于x的函数关系 EB B
A1 A1 B B1 FM FM B 1 E A 1C A C DP A DP
C A DP B1 图3 图2
图1
【答案】（1） 相似
由题意得：∠APA1=∠BPB1=α AP= A1P BP=B1P
则
180????∠PAA1 =∠PBB1 =?90??22
∵∠PBB1 =∠EBF ∴∠PAE=∠EBF
又∵∠BEF=∠AEP
∴△BEF ∽△AEP
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（2）存在，理由如下：
易得：△BEF ∽△AEP
若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即
可
∴∠BAE=∠ABE
∵∠BAC=60° BAE=60??????????90?2???2?30
∵∠ABE=β ∠BAE=∠ABE ∴?2?30??? 即α=2β+60°
（3）连结BD，交A1B1于点G，
过点A1作A1H⊥AC于点H.
B A1 G B1
A H DP C
∵∠B1 A1P=∠A1PA=60° ∴A1B1∥AC
由题意得：AP= A1 P ∠A=60° ∴△PAA1是等边三角形
∴A1H=
32(2?x)在Rt△ABD中，BD=23 ∴BG=23?32(2?x)?3?32x 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴∠
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∴S?ABB11??13??4??3?x??23?3x （0≤x＜2） ??22??9. （2011广东株洲，20，6分）如图， △ABC中，AB=AC，∠A=36°，
AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC． （1）求∠ECD的度数； （2）若CE=5，求BC长．
【答案】（1）解法一：∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∠ECD=∠A=36°.
解法二：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=90°， 又∵DE =DE，∴△ADE≌△CDE，∠ECD=∠A=36°. （2）解法一：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°， ∵∠ECD=36°，
∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°， ∠BEC=72°=∠B， ∴ BC=EC=5.
解法二：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠ACB=72°，
∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°， ∴∠BEC=∠B，
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∴BC=EC=5.
10．(2011重庆綦江，24，10分)如图，等边△ABC中，AO是∠BAC
的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连结BE.
(1) 求证：△ACD≌△BCE；
(2) 延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ使CP＝CQ＝5, 若BC＝8时，求PQ的长.
【答案】：(1)证明ABC和△CDE均为等边三角形， ∴AC＝BC , CD＝CE 且∠ACB＝∠DCE＝60°
∵∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝60° ∴∠ACD＝∠BCE ∴△ACD≌△BCE
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