由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

（3）①×；②√；③√。

8. （2011浙江义乌，23，10分）如图1，在等边△ABC中，点D是

边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP. 将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.

（1） 如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在 ▲ 关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；

（2）如图2，设∠ABP=β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过

程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合. 已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面

积为S，求S关于x的函数关系 EB B

A1 A1 B B1 FM FM B 1 E A 1C A C DP A DP

C A DP B1 图3 图2

图1

【答案】（1） 相似

由题意得：∠APA1=∠BPB1=α AP= A1P BP=B1P

则

180????∠PAA1 =∠PBB1 =?90??22

∵∠PBB1 =∠EBF ∴∠PAE=∠EBF

又∵∠BEF=∠AEP

∴△BEF ∽△AEP

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

（2）存在，理由如下：

易得：△BEF ∽△AEP

若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即

可

∴∠BAE=∠ABE

∵∠BAC=60° BAE=60??????????90?2???2?30

∵∠ABE=β ∠BAE=∠ABE ∴?2?30??? 即α=2β+60°

（3）连结BD，交A1B1于点G，

过点A1作A1H⊥AC于点H.

B A1 G B1

A H DP C

∵∠B1 A1P=∠A1PA=60° ∴A1B1∥AC

由题意得：AP= A1 P ∠A=60° ∴△PAA1是等边三角形

∴A1H=

32(2?x)在Rt△ABD中，BD=23 ∴BG=23?32(2?x)?3?32x 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

∴∠

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

∴S?ABB11??13??4??3?x??23?3x （0≤x＜2） ??22??9. （2011广东株洲，20，6分）如图， △ABC中，AB=AC，∠A=36°，

AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC． （1）求∠ECD的度数； （2）若CE=5，求BC长．

【答案】（1）解法一：∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∠ECD=∠A=36°.

解法二：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=90°， 又∵DE =DE，∴△ADE≌△CDE，∠ECD=∠A=36°. （2）解法一：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°， ∵∠ECD=36°，

∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°， ∠BEC=72°=∠B， ∴ BC=EC=5.

解法二：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠ACB=72°，

∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°， ∴∠BEC=∠B，

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

∴BC=EC=5.

10．(2011重庆綦江，24，10分)如图，等边△ABC中，AO是∠BAC

的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连结BE.

(1) 求证：△ACD≌△BCE；

(2) 延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ使CP＝CQ＝5, 若BC＝8时，求PQ的长.

【答案】：(1)证明ABC和△CDE均为等边三角形， ∴AC＝BC , CD＝CE 且∠ACB＝∠DCE＝60°

∵∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝60° ∴∠ACD＝∠BCE ∴△ACD≌△BCE

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费