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（1）求证AD=AE；(2) 连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
A D O B E C
【答案】（1）证明：在△ACD与△ABE中，
A ∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC， ∴ △ACD≌△ABE．???????? 3分 D ∴ AD=AE． ????????4分 O B
(2) 互相垂直 ????????5分 在Rt△ADO与△AEO中， ∵OA=OA，AD=AE， ∴
E C △ADO≌△AEO． ??????????????6
分
∴ ∠DAO=∠EAO． 即OA是∠BAC的平分
线． ???????????????7分 又∵AB=AC， ∴
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OA⊥BC． ???????????????8分
3. （2011山东日照，23，10分）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM， 求证： ME=BD．
【答案】（1）在等腰直角△ABC中，
∵∠CAD=∠CBD=15o，
∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o， ∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC， ∴∠DCA=∠DCB=45o．
由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o， ∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o， ∴∠BDM=∠EDC， ∴DE平分∠BDC； （2）如图，连接MC，
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°， ∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°， ∴∠EMC=∠ADC． 又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．
4. （2011湖北鄂州，18，7分）如图，在等腰三角形ABC中，∠
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ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长． A D E B
第18
F
C
【答案】连结BD，证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，求得EF=5 5. （2011浙江衢州，23,10分）?ABC是一张等腰直角三角形纸板，
?C?Rt?，AC?BC?2.
要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.
ADQFBCPNBAMEC（第23题图（第23题）
图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S1；按照甲种剪法，在余下的?ADE和?BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2(如图2)，则S2= ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形
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的面积和为S3(如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时，
S10? . 求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.
【答案】(1)解法1：如图甲，由题意得AE?DE?EC,即EC?1,S正方形CFDE?1.如图乙，设MN?x，则由题意，得AM?MQ?PN?NB?MN?x,
?3x?22,解得x??S正方形PNMQ?(2232228)?39
又?1?
?甲种剪法所得的正方形的面积更大
89说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，S正方形CFDE?S?ABC?1
解法2：如图甲，由题意得AE?DE?EC，即EC=1
如图乙，设MN?x,则由题意得AM?MQ?QP?PN?NB?MN?x
?3x?22,解得x?又?1?2231222,即EC?MN3
?甲种剪法所得的正方形的面积更大
121(3)S10?9
2(2)S2?
(3)解法1：探索规律可知：Sn?1‘ n?12?12141?1?9 9?2?2剩余三角形的面积和为：2??S1?S2???S10??2???1?????解法2：由题意可知，
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