两式相加得 z1?z2?z1?z222?2(z1?z2)

22它表明以z1和z2为两邻边的平行四边形的对角线的平方和等于它的两邻边的平方和的两倍。

2、设u(x,y)?x3?3xy2，证明： （1）u(x,y)是z平面上的调和函数；

（2）求以u(x,y)为实部的解析函数f(z)，使得f(0)?i。

证明：（1）因?u?x?3x2?3y2,?2u?u?2u?x2?6x，?y??6xy,?y2??6x ?2u?x2??2u?y2?6x?(?6x)?0 所以 u(x,y)是z平面上的调和函数。

（2）设所求的解析函数为f(z)?u?iv，因f?(z)??ux?z?z?i?u?3x23?y262?x?y?xyi3?y?z?z2i所以 f(z)?z3?c。

又 由f(0)?i可得 c?i，所以 所求的解析函数为 f(z)?z3?i。

3、（1）证明：?1Cz?2dz?0，其中C:z?1； ? （2）利用（1）的结果证明?1?2cos?05?4cos?d??0。

（1）证明：因为被积函数的不解析点z??2?z?1，所以由柯西积分定理得

1C?z?2dz?0 （2）解：令z?ei?,(??????)，由复积分的参数方程计算公式得

2z

0??C??1cos??isin?2cos??1?2isin?dz??d???d? z?25?4cos???2?cos??isin?????????2cos??1sin?d??2i?d?

5?4cos?5?4cos????比较两边的实部和虚部得

???1?2co?sd??0

5?4co?s再注意到被积函数是偶函数得

??01?2cos?1?1?2cos?d????d??0。

5?4cos?2??5?4cos?