复变函数综合测试题（一）

（解答）

一、选择题（单选题）

1、复数z?3?i的幅角主值为（ C ） （A）

???? （B）? （C）? （D）

36362、复数z?1?cos??isin?,0????的模为（ A ） （A）2sin3、设z??? （B）?2sin （C）2?2cos? （D）2cos??2 221?i，则z的指数表示为（ B ） 2444424、若?是方程z?1?0的一个非零复数根，则1?????（ A ）

2（A）0 （B）i （C）? （D）??

3（A）z?cos??isin? （B）z?ei??4 （C）z?cos??isin? （D）z?e?i??4

5、函数f(z)?z在z平面上（ C ）

（A）不连续 （B）连续且可导 （C）连续但处处不可导 （D）以上答案都不对 6、满足z?1?z?1的点z所组成的点集为（B ）

（A）Imz?0 （B）Rez?0 （C）Imz?0 （D）Rez?0 7、函数f(z)?u?iv在区域D内解析的充要条件是（ D ）

（A）

?u?u?v?v,,,都在D内连续 ?x?y?x?y?u?v?u?v?,?? ?x?y?y?x（B）在D内

（C）

?u?u?v?v?u?v?u?v,,,都在D内存在，且?,??

?x?y?y?x?x?y?x?y?u?u?v?v?u?v?u?v,,,都在D内连续，且?,??

?x?y?y?x?x?y?x?y（D）

8、

z?a???1dz(??0)的值为（ A ） n(z?a)（A）当n?1时为2?i；当n?1时为0 （B）0 （C）2?i （D）2n?i

9、

z?1?ezdz?（ C ） z（A）0 （B）

? （C）2?i （D）(2??k)i(k?0,1,2,?) 210、f(z)在复平面上解析且有界，则f(z)在平面上为（B ） （A）0 （B）常数 （C）z （D）z(n?N) 11、复级数?zn收敛的必要条件是（ D ）

n?1?n（A）对一切n，zn?0 （B）存在一列自然数{nk}，使得zn?0

k（C）limzn?0 （D）limzn?0

n??n??zn12、幂级数1??n的收敛半径为（A ）

n?1n?（A）?? （B）0 （C）1 （D）2 13、z?0为f(z)?z?sinz的（ D ）

（A）极点 （B）非孤立奇点 （C）本性奇点 （D）3阶零点 14、设f(z)?1，则z?0是f(z)的（ A ） ze?1（A）1阶极点 （B）2阶极点 （C）可去奇点 （D）本性奇点 15、z0??是函数f(z)的可去奇点，则Res(f,z0)?（ B ） （A）f(z0) （B）0 （C）2? （D）2?i

二、填空题（将正确的答案填在横线上）

1、复数z?(3?i)(2?i)的模z?(3?i)(2?i)1。

2、函数f(z)在区域D内解析是指 f(z)在区域D内每一点可导 。

3、

z?1?1?1dz?z?30。

4、刘维尔定理是指 有界整函数必为常数 。

n?zn5、幂级数?n的收敛半径R?2n?0?1，收敛圆为z?2。

16、函数f(z)?在z?0处的幂级数展式为

1?z1?1ei?z?ei。 7、设f(z)?，则Res(f,i)?21?z2

f(z)??znn?0?。

三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）

1、设z1和z2是两个不相等的复数，则z1和z2必可比较大小。 （ × ） 2、f(z)在点a解析是指f(z)在点a可导。 （ × ）

33、在复数范围内，z?1的充要条件是z?1。 （ × ）

4、若f(z)在以围线C为边界的单连通区域D内解析，且在D?D?C上连续，则

C?f(z)dz?0。 （ √ ）

225、若Res(f,z0)?a，则Res(f,z0)?a。 （ × ）

四、计算题

1、将复数z?(1?cos??isin?)(0????)化为指数形式。

2解： z?(1?cos??isin?)?4cos22?2?ei?(0????)

2、在复数范围内解方程z?a?0(a?0)。 解：由原方程可得 z??a?a?e 所以 方程的解为 zk?a?e

3、计算积分?zdz，其中（1）C是从?1到1的直线段；（2）C是从?1到1的上半单位圆

Ci(2k?1)?444444i?k?0,1,2,3。

周：z?1。

解：（1）C的参数方程为z?t(?1?t?1)，所以

11C?zdz??tdt?2?tdt?1。

?10（2）因为在C上，z?1，所以?zdz??dz?1?(?1)?2。

CC 4、求?Cz?2dz，其中C是圆周：z?2。 2z?zz?22121dz?(?)dz?dz?dz?4?i?2?i?2?i。 ???z2?zzz?1zz?1CCC解：?C

5、求下列函数在z?0处的幂级数展开式

z（1）?ed?； （2）

0?21。

(1?z)2?z解：（1）?ed???0?2z0n?0???2nz2n?1，z???。 d???n!n?0(2n?1)n!??11n?()??(?z)???nzn?1，z?1。 （2）2(1?z)1?zn?0n?1

??6、求实积分

???xsinxdx。 1?x2??解：因

?????zxsinxxixdx?Im[edx]，而在上半平面内仅有一个一阶极点z?i， ?2221?z1?x??1?x2且在实数范围内 1?z?0

??所以

???xixz1?1iz?1edx?2?iRes(e,i)?2?i?e??ei， 221?x1?z2??xsinxxix?1dx?Im[edx]??e。 ?21?x21?x????故

???五、证明题

1、证明：z1?z2?z1?z2证明：因 z1?z2222?2(z1?z2)，并说明其几何意义。

2222?(z1?z2)(z1?z2)?(z1?z2)(z1?z2)?z1?z2?z1z2?z1z2

而 z1z2?z1z2?2Re[z1z2] 所以 z1?z2同理可得 z1?z22?z1?z2?2Re[z1z2] ?z1?z2?2Re[z1z2]

22222