第二课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
课时分层训练
‖层级一‖|学业水平达标|
?π?1．函数f(x)＝sin?x＋?的一个单调递减区间是( )
6???ππ? A．?－，?
?22??2π2π?C．?－，?
3??3
B．[－π，0]
?π2π?D．?，?
3??2
ππ3π
解析：选D ∵2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z.
262π4π
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
33π4π
令k＝0得≤x≤.
33
?π2π??π4π?又∵?，???，?， 3??33??2
?π??π2π?∴函数f(x)＝sin?x＋?的一个单调递减区间为?，?.故选D.
6?3???2
π??2．函数y＝cos?2x－?的单调递减区间是( ) 3??π5π??A．?kπ－，kπ＋?，k∈Z
212??π2π??B.?kπ＋，kπ＋?，k∈Z 33??
π2π??C．?kπ＋，kπ＋?，k∈Z 63??5π11π??D.?kπ＋，kπ＋，k∈Z 1212???解析：选C ∵2kπ≤2x－
π
≤2kπ＋π，k∈Z. 3
π2
∴kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z.故选C．
63
π??3．函数y＝3cos?2x＋?＋1取得最大值时，x的值应为( )
3??π
A．2kπ－，k∈Z
3π
C．kπ－，k∈Z
3
π
B．kπ－，k∈Z
6π
D．kπ＋，k∈Z
6
π?π?解析：选B 依题意，当cos?2x＋?＝1时，y有最大值，此时2x＋＝2kπ，k∈Z，3?3?π
变形为x＝kπ－，k∈Z.故选B.
6
?xπ?4．(2019·甘肃兰州一中高二期末)y＝cos?－?(－π≤x≤π)的值域为( ) ?26??11?A．?－，? ?22??1?C．?－，1? ?2?
B．[－1,1] 3??1
D．?－，? ?22?
πxπ2πxππ1≤≤，－≤－≤，所以－22232632
解析：选C 由－π≤x≤π，可知－
?xπ??1?≤cos?－?≤1，即所求值域为?－，1?，故选C．
?26??2?
5．下列关系式中正确的是( ) A．sin 11° 解析：选C ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，由函数y＝sin x的单调性，得sin 11° π??ππ??6．函数y＝2sin?2x＋??－≤x≤?的值域是 ． 3??66??ππ 解析：因为－≤x≤， 66π2 所以0≤2x＋≤π， 33π??所以0≤sin?2x＋?≤1， 3??π??从而0≤2sin?2x＋?≤2， 3??所以0≤y≤2，即值域是[0,2]． 答案：[0,2] 7．(2018·吉林长春外国语学校高一期中)sin(用“>”连接)． 3π4π9π ，sin，sin的大小关系为 5510 解析：∵ π3π4π9π?π?<<<<π，又函数y＝sin x在?，π?上单调递减，∴25510?2? 3π4π9π sin>sin>sin. 5510 3π4π9π答案：sin>sin>sin 5510 ?π?8．若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间?0，?上的最大值是2，则ω＝ . 3???π?解析：∵x∈?0，?， 3?? πωππ 即0≤x≤，且0<ω<1，∴0≤ωx≤<. 333∵f(x)max＝2sin3 即ω＝. 43答案： 4 9．求下列函数的单调递增区间． (1)y＝1－cos； 2π?1? (2)y＝logsin?2x＋?. 4?2? 解：(1)由题意可知函数y＝cos的单调递减区间为原函数的单调递增区间， 2由2kπ≤≤2kπ＋π(k∈Z)， 2得4kπ≤x≤4kπ＋2π(k∈Z)， 所以函数y＝1－cos的单调递增区间为[4kπ，4kπ＋2π](k∈Z)． 2(2)由对数函数的定义域和复合函数的单调性， π??sin?2x＋?>0，???4? 可知?ππ3π 2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋?k∈Z?，??242ππ 解得2kπ＋≤2x＋<2kπ＋π(k∈Z)， 24π3π 即kπ＋≤x 88 ωπ 3 ＝2，∴sin ωπ 3 ＝2ωππ ，＝， 234 xxxx π3π??故所求单调递增区间为?kπ＋，kπ＋?(k∈Z)． 88?? 10．(1)求函数y＝3－2sin x的最大值和最小值，并分别写出使这个函数取得最大值和最小值时x的集合； 1?π5π?2 (2)求函数y＝2sinx＋2sin x－，x∈?，?的值域． 6?2?6解：(1)因为－1≤sin x≤1， 3π 所以当sin x＝－1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y取得最大值5，相应的自变量x的 2 ???3π 集合为?x?x＝2kπ＋，k∈Z 2??? ?? ?. ?? 当sin x＝1，即x＝2kπ＋???π ?x?x＝2kπ＋，k∈Z 2??? π ，k∈Z时，y取得最小值1，相应的自变量x的集合为2 ???. ?? ?π5π?(2)令t＝sin x，因为x∈?，?， 6??6 11 所以≤sin x≤1，即≤t≤1. 221?1?22 所以y＝2t＋2t－＝2?t＋?－1， 2?2? ?1?∵以t为自变量的二次函数在?，1?上单调递增， ?2? 7?7?∴1≤y≤，所以原函数的值域为?1，?. 2?2?‖层级二‖|应试能力达标| π 1．函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是( ) 2A．－1,3 C．0,3 π 解析：选A ∵x∈R，∴x∈R. 2π ∴y＝cosx的值域为[－1,1]． 2 π ∴y＝1－2cosx的最大值为3，最小值为－1.故选A． 2 B．－1,1 D．0,1 ?π?2．已知函数f(x)＝sin?x－?(x∈R)，下面结论错误的是( ) 2??