的其余部分保持不变，得到一个新的图象G.当直线 时，请你直接写出 的取值范围. 【答案】 （1）解：∵ 方程有实数根，∴ ∴

，解得

.

.

与图象G有3个公共点

∵ 为正整数，∴ 为1，2，3

（2）解：当 当 当 ∴

时， 时，

时，

，方程的两个整数根为6，0；

，方程无整数根； ，方程的两个整数根为2，1

.

,原抛物线的解析式为：

∴平移后的图象的解析式为

（3）解：翻折后得到一个新的图象G的解析式为 联立 由 ∴当

或 时，直线

联立 由 ∴当

或

得 得 时，直线

时，直线

∴要使直线

与 .

与

有一个交点，当

有两个交点.

与

得 得

.

与

有两个交点.

，即

.

有一个交点，当

，即

. ，

时，直线

与

与图象G有3个公共点即要直线 有一个交点且与

有两个交点；或直线

有一个交

与

点.

∴ 的取值范围为

.

有两个交点且与

【解析】【分析】(1)由

求出正整数解即可.（2）求出方程有两个不为0的整数根

时的二次函数解析式，根据平移的性质得到平移后的函数图象的解析式.（3）分直线

与

点和直线

与

有一个交点两种情况求解即可

有一个交点且与

有两个交点且与

有两个交

11．如图，抛物线y= 0）．

x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M(m ， 0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． 【答案】 （1）解：∵点A（-1，0）在抛物线y= ∴

× (-1 )2 +b× (-1) –2 = 0

x2 +bx-2上

解得b =

x2-

x-2. (x-

)2-

,

∴抛物线的解析式为y= y=

x2-

x-2 =

(x2 -3x- 4 ) =

, -

).

∴顶点D的坐标为 (

（2）解：当x = 0时y = -2, ∴C（0，-2），OC = 2。 当y = 0时， ∴B (4,0)

∴OA =1, OB = 4, AB = 5.

∵AB2 = 25, AC2 =OA2 +OC2 = 5, BC2 =OC2 +OB2 = 20, ∴AC2 +BC2 =AB2. ∴△ABC是直角三角形.

x2-

x-2 = 0， ∴x1 = -1, x2 = 4

（3）解：作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M ， 根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC +MD的值最小。

解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E. ∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM ∴△C′OM∽△DEM. ∴

∴ ，∴m=

．

解法二：设直线C′D的解析式为y =kx +n ,

则 ∴

∴当y = 0时，

.

，解得n = 2，

.

，

∴

.

【解析】【分析】（1）把点A坐标代入抛物线即可得解析式，从而求得顶点坐标；（2）分别计算出三条边的长度，符合勾股定理可知其是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。

12．已知：抛物线y＝﹣mx2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且开口向上

（1）求抛物线的解析式；

（2）结合图象写出，0＜x＜4时，直接写出y的取值范围________；

（3）点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过A作x轴的平行线交抛物线于另一点D ， 作AB⊥x轴于点B ， DC⊥x轴于点C ． 当BC＝1时，求出矩形ABCD的周长． 【答案】 （1）解：∵y＝x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点， ∴0＝0+0+m2﹣1，即m2﹣1＝0 解得m＝±1． 又∵开口向上， ∴﹣m＞0， ∴m＜0， ∴m＝﹣1，

∴二次函数解析式为y＝x2﹣3x ．