为a0,a1,?an的多元函数，因此上述问题即为求I?I(a0,a1,?an)的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得
mn?I?2?(?akxik?yi)xij?0,j?0,1,?,n?aji?0k?0 (2)
i?0k?0I??(?akxik?yi)2mn即
?(?xk?0i?0nmj?ki)ak??xijyi,i?0mj?0,1,?,n (3)
（3）是关于a0,a1,?an的线性方程组，用矩阵表示为
mm??m?n?y?m?1?xi??xi???i?ai?0i?0??i?00?m??m?mm???xxi2??xin?1??a1???xiyi???i??i?0?i?0??i?0i?0??????????????m?a?m?mmn??nnn?12n??xi?xi???xiyi???xi?i?0? (4) ????i?0i?0?i?0?式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。
可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出ak(k=0,1,?，n)，从而可得多项式
(5)
可以证明，式（5）中的pn(x)满足式（1），即pn(x)为所求的拟合多项式。我
k?0pn(x)??akxkn们把i?02??p(x)?y?niim称为最小二乘拟合多项式pn(x)的平方误差，记作
r22
???pn(xi)?yi?i?0nmm2由式(2)可得
r22
??y??ak(?xikyi)2ii?0k?0i?0m (6)
多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：
(1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；
(2) 列表计算i?0和i?0(3) 写出正规方程组，求出a0,a1,?an；
pn(x)??akxkn?xmji(j?0,1,?,2n)?xmjiyi(j?0,1,?,2n)；
k?0(4) 写出拟合多项式。
在实际应用中，n?m或n?m；当n?m时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛
顿插值多项式。
例1 测得铜导线在温度Ti(℃)时的电阻Ri(?)如表6-1，求电阻R与温度 T的近似函数关系。 i 0 1 2 3 4 5 6 Ti(℃) 19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0 Ri(?) 76.30 77.80 79.25 80.80 82.35 83.90 85.10 解 画出散点图（图6-2），可见测得的数据接近一条直线，故取n=1，拟合函数为
R?a0?a1T
列表如下
i 0 1 2 3 4 5 6 Ti 19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0 Ri 76.30 77.80 79.25 80.80 82.35 83.90 85.10 Ti2 364.81 625.00 906.01 1296.00 1600.00 2034.01 2500.00 TiRi 1457.330 1945.000 2385.425 2908.800 3294.000 3783.890 4255.000 ?正规方程组为
245.3 565.5 9325.83 20029.445 解方程组得
245.3??a0??565.5??7?????245.39325?.83??a1??20029.445???
a0?70.572,a1?0.921
故得R与T的拟合直线为
R?70.572?0.921T
利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由R=0得T=-242.5，即预测温度T=-242.5℃时，铜导线无电阻。
6-2
例2 已知实验数据如下表
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 xi 1 3 4 5 6 7 8 9 10 10 5 4 2 1 1 2 3 4 试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。 解 设拟合曲线方程为
y?a0?a1x?a2x2
列表如下
I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 yixi yi xi2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 10 5 4 2 1 1 2 3 4 1 9 16 25 36 49 64 81 100 xi3 1 27 64 125 216 343 512 729 1000 xi4 1 81 256 625 1296 2401 4096 6561 10000 xiyi xi2yi 10 15 16 10 6 7 16 27 40 10 45 64 50 36 49 128 243 400 ?得正规方程组
53 32 381 3017 25317 147 1025 52381??a0??32??9?523813017??a???147????1???????381301725317???a2????1025?
解得
a0?13.4597,a1??3.6053a2?0.2676
故拟合多项式为
y?13.4597?3.6053?0.2676x2
*三 最小二乘拟合多项式的存在唯一性
定理1 设节点x0,x1,?,xn互异，则法方程组（4）的解存在唯一。 证 由克莱姆法则，只需证明方程组（4）的系数矩阵非奇异即可。 用反证法，设方程组（4）的系数矩阵奇异，则其所对应的齐次方程组
m??m?1?xii?0?mm2?xx??i?i?0ii?0????mm??xin?xin?1?i?0?i?0有非零解。式(7)可写为??m???x?y??i?ai?0??i?0?0?m?mn?1??a???xi?1???xiyi???i?0??i?0???????????a?m?mn2n??n???xiyi???xi????i?0? （7） i?0?
nim?(?xk?0i?0nmj?ki)ak?0,j?0,1,?,n （8）
将式（8）中第j个方程乘以aj(j=0,1,?，n)，然后将新得到的n+1个方程左
?nmj?k?aj??(?xi)ak0??0??右两端分别 相加，得j?0?k?0i?0
因为
mnnm?nmj?k?mnn2j?kjkaj??(?xi)ak?????akajxi??(?ajxi)(?akxi)???pn(xi)??j?0i?0j?0k?0i?0?k?0i?0?i?0j?0k?0 其中 nnpn(x)??akxkk?0n
所以
pn(xi)?0 (i=0,1,?,m)
pn(x)是次数不超过n的多项式，它有m+1＞n个相异零点，由代数基本定理，必须有a0?a1??an?0，与齐次方程组有非零解的假设矛盾。因此正规方程组（4）必有唯一解 。定理2 设a0,a1,?,an是正规方程组（4）的解，则是满足式（1）的最小二乘拟合多项式。
证 只需证明，对任意一组数b0,b1,?,bn组成的多项式
pn(x)??akxkk?0nnQn(x)??bkxkk?0，恒有
??Q(x)?y????p2niii?0i?0mmn(xi)?yi?2
即可。
2????Q(x)?y?p(x)?y?nii?nii2i?0i?0mm???Qn(xi)?pn(xi)??2??Qn(xi)?pn(xi)???pn(xi)?yi?2i?0i?0mm?0?2??i?0j?0mn?n?m??n?n??????k(bj?aj)xi???akxi?yi??2???bj?aj?????akxik?yi?xij??j?0?i?0??k?0?k?0??????
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