A??xij?n?m，如果xi与xj的相似程度为rij?R(xi,xj)(i,j?1,2,?,n)，则称之为相似系
~数，确定相似系数rij有多种不同的方法。常用的方法如下：
(1) 数量积法
对
于
xi?{xi1,xi2,?,xim}?U，令
?m?M?max??xik?xjk?i?j?k?1?，则取
i?j?1,rij?1?m?r?[0,1]r?，显然ij。若出现有某些rij?0，可令ij，rij??12x?x,i?j?M?ikjk?k?1??[0,1]。也可以用平移-极差变换将其压缩到[0,1]上，即可以得到模糊相则有rij似矩阵R?rij??n?m。
m(2) 夹角余弦法（相似系数统计量）: 令
?xrij?k?1m2ikk?1ikxjkm(i,j?1,2,?,n)
2jk?x??xk?1则R?rij??n?n。
m(3) 相关系数法（相关系数统计量）: 令
??xrij?k?1ik?xi??xjk?xj???xk?1mik?xi????x2k?1mjk?xjn?n?(i,j?1,2,?,n)
21m1m其中xi??xik，xj??xjk，则R?rijmk?1mk?1??。
注意：xi?{xi1,xi2,?,xim}中的样本xik属于同一个样本空间Xi(k?1,2,?,m)。 (4) 指数相似系数法: 令
2?1m?3(xik?xjk)??rij??exp??? 2mk?1?sk??4?21n1n其中sk??xik?xk,xk??xik(k?1,2,?,m)。则R?rijn?n。
ni?1ni?1注意：xi?{xi1,xi2,?,xim}中的样本xik属于不同的样本空间Xk，即
????xik?Xk(k?1,2,?,m)。
(5) 最大最小值法: 令
rij???x??xk?1k?1mmik?xjk??xjkik?(xij?0;i,j?1,2,?,n)
则R?rij??n?n。
(6) 算术平均值法: 令
rij?则R?rij??xk?1mmik?xjk???1xik?xjk?2k?1??(xij?0;i,j?1,2,?,n)
n?n。
(7) 几何平均值法：令
rij?则R?rij??xk?1mmik?xjk?(xij?0;i,j?1,2,?,n)
?k?1xik?xjk??n?n。
(8) 绝对值倒数法：令
i?j?1,??1rij???m ?Mx?x,i?j??jk??ik???k?1其中M为使得所有rij?[0,1](i,j?1,2,?,n)的确定常数，则R?rij??n?n。
(9) 绝对值指数法：令
则R?rij???m?rij?exp???xik?xjk?(i,j?1,2,?,n)
?k?1?。
n?n (10) 海明距离法（距离系数统计量。如果变量的量纲不同，原始数据变异
范围相差悬殊时，建议首先进行数据的标准化处理，然后再计算距离）：令
?rij?1?H?d(xi,xj)?m(i,j?1,2,?,n) ??d(xi,xj)??xik?xjkk?1?其中H为使得所有rij?[0,1](i,j?1,2,?,n)的确定常数。则R?rijn?n。
??(11) 欧氏距离法（最常用）：令
?rij?1?E?d(xi,xj)?m(i,j?1,2,?,n) ?2?d(xi,xj)???xik?xjk?k?1?其中E为使得所有rij?[0,1](i,j?1,2,?,n)的确定常数。则R?rij (12) 契比雪夫距离法：令
?rij?1?Q?d(xi,xj)?m??d(xi,xj)??xik?xjkk?1???n?n。
(i,j?1,2,?,n)
其中Q为使得所有rij?[0,1](i,j?1,2,?,n)的确定常数。则R?rij??n?n。
(13) 主观评分法：设有N个专家组成专家组{p1,p2,?,pN}，让每一位专家对所研究的对象xi与xj相似程度给出评价，并对自己的自信度作出评估。如果第k位专家pk关于对象xi与xj的相似度评价为rij(k)，对自己的自信度评估为
aij(k)(i,j?1,2,?,n)，则相关系数定义为
rij?则R?rij??ak?1Nij(k)?rij(k)?(i,j?1,2,?,n)
ij?ak?1N(k)??n?n。
综上所述，以上给出了实际中能够使用的一些方法，具体地选择要根据具体问题的性质和使用的方便来确定。
在实际工作中，当需要研究样品与样品之间关系时，一般用距离系数统计量或者相似系数统计量作为分类计算依据，这种方法又称为Q型聚类法；当需要研究变量与变量之间的关系时，常用相关系数统计量作为分类计算依据，这种方法又称R型聚类法。
选择适当的聚类方法
聚合法
开始把每个样品看成自成一类，计算各类之间的相似程度的统计量，把最相似的两类合并为一类，再计算各类相似程度统计量，把最相似的两类合并，照此继续下去，一直到所有样品都聚合成一类为止，最后人为确定合适的分类数，得到分类结果。 分解法
它的聚类过程恰好和聚合法相反，开始把全体样品看成一类，然后分成二类，??，一直到每个样品为一类或分到不能再分时为止，通常要设计一个分类函数（目标函数）来控制整个分类过程。 调优法
开始人为将样品作初始分类，在一定准则下判断这个分类是否最优，如果不是最优，则对分类进行修改，再判断修改后的分类是否最优，若仍不是最优，再作修改，不断重复上述步骤，一直到分类方案最优为止。 *动态聚类法
步骤：
1、按照一定的原则选择一批凝聚点（聚核），
2、让样品向最近的凝聚点凝聚，这样就由点凝聚成类，得到初始分类。 3、初始分类不一定合理，可按最近距离原则进行修改，直到分类合理得到最终的分类为止。
四、最小二乘法与多项式拟合 一）、最小二乘法的基本原理
从整体上考虑近似函数p(x)同所给数据点(xi,yi)(i=0,1,?,m)误差
ri?p(xi)?yi(i=0,1,?,m)
riri?p(xi)?yi(i=0,1,?,m)绝对值的最大值max0?i?m，即误差 向量
r?(r0,r1,?rm)的∞—范数；二是误差绝对值的和?i?0Tmri，即误差向量r的1—
范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，
ii?0?rm2因此在曲线拟合中常采用误差平方和体大小。
?ri?0m2i来 度量误差ri(i=0，1，?，m)的整
数据拟合的具体作法是：对给定数据 (xi,yi) (i=0,1,?，m)，在取定的函数类?中,求p(x)??,使误差ri?p(xi)?yi(i=0,1,?,m)的平方和最小，即
i?0?rim2=i?02??p(x)?y?ii?minm
从几何意义上讲，就是寻求与给定点(xi,yi)(i=0,1,?,m)的距离平方和为最
小的曲线y?p(x)（图6-1）。函数p(x)称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
?可有不同的选取方法.
6—1
二）、多项式拟合
?为所有次数不超过n(n?m)的多项式构假设给定数据点(xi,yi)(i=0,1,?,m)，成的函数类，现求一
m
pn(x)??akxk??k?0n,使得
2I???pn(xi)?yi?i?02?n?????akxik?yi??mini?0?k?0? (1)
m当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的pn(x)称为最小二乘
拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。 显然