难点14 数列综合应用问题

纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度. ●难点磁场

t2t?2(★★★★★)已知二次函数y=f(x)在x=2处取得最小值－4 (t＞0),f(1)=0.

(1)求y=f(x)的表达式；

(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］为多项式，n∈N*),试用t表示an和bn；

(3)设圆Cn的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、Sn. ●案例探究 ［例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，

1根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少5，本年度当地旅游业收入估

计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增

1加4.

(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；

(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目.

知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.

错解分析：(1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.

技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.

1解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－5)万元，…第n年投入为800×(11－5)n－1万元，所以，n年内的总投入为

111an=800+800×(1－5)+…+800×(1－5)n－1=k?1800×(1－5)k－1

?n4=4000×［1－(5)n］

1第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+4)，…，第n年旅游业收入1400×(1+4)n－1万元.所以，n年内的旅游业总收入为

115bn=400+400×(1+4)+…+400×(1+4)k－1=k?1400×(4)k－1.

?n5=1600×［(4)n－1］

(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，即：

5441600×［(4)n－1］－4000×［1－(5)n］＞0，令x=(5)n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.242解此不等式，得x＜5，或x＞1(舍去).即(5)n＜5，由此得n≥5.

∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.

111?［例2］已知Sn=1+23+…+n,(n∈N*)设f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定实数m的取值范围，

11使得对于一切大于1的自然数n，不等式：f(n)＞［logm(m－1)］2－20［log(m－1)m］2恒

成立.

命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.

错解分析：本题学生很容易求f(n)的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理.

技巧与方法：解决本题的关键是把f(n)(n∈N*)看作是n的函数，此时不等式的恒成立就转化

11为：函数f(n)的最小值大于［logm(m－1)］2－20［log(m－1)m］2. 111?解：∵Sn=1+23+…+n.(n∈N*)

?f(n)?S2n?1?Sn?1?111????n?2n?32n?1111112又f(n?1)?f(n)??????2n?22n?3n?22n?22n?32n?41111?(?)?(?)?02n?22n?42n?32n?4

∴f(n+1)＞f(n)

∴f(n)是关于n的增函数

119??∴f(n) min=f(2)=2?22?320

∴要使一切大于1的自然数n，不等式

11f(n)＞［logm(m－1)］2－20［log(m－1)m］2恒成立 911只要20＞［logm(m－1)］2－20［log(m－1)m］2成立即可 ?m?0,m?1?m?1?0,m?1?1由?得m＞1且m≠2

此时设［logm(m－1)］2=t 则t＞0

11?9??t?20?20?t?0于是?解得0＜t＜1

由此得0＜［logm(m－1)］2＜1

1?5 解得m＞2且m≠2.

●锦囊妙计

1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.

2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：

(1)事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.

(2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系. (3)事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力. ●歼灭难点训练 一、选择题

1.(★★★★★)已知二次函数y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，当a=1，2，…，n，…时，其抛物线

在x轴上截得的线段长依次为d1,d2，…,dn,…,则n?? (d1+d2+…+dn)的值是( )

limA.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题

2.(★★★★★)在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是_________.

3.(★★★★)从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精_________升.

4.(★★★★★)据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元. 三、解答题

5.(★★★★★)已知数列{an}满足条件：a1=1,a2=r(r＞0),且{anan+1}是公比为q(q＞0)的等比数列，设bn=a2n－1+a2n(n=1,2,…).

(1)求出使不等式anan+1+an+1an+2＞an+2an+3(n∈N*)成立的q的取值范围；

1n??Sn(2)求bn和，其中Sn=b1+b2+…+bn；

limlog2bn?11log2bn}的最大项和最小项的值.

(3)设r=219.2－1，q=2，求数列{

6.(★★★★★)某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n排序，第1位职工

b得奖金n元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并

将最后剩余部分作为公司发展基金.

(1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金金额，试求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必证明)；

(2)证明ak＞ak+1(k=1,2,…,n－1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义； (3)发展基金与n和b有关，记为Pn(b),对常数b，当n

变化时，求n??Pn(b).

lim7.(★★★★)据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：

(1)2001年回收废旧物资多少吨？

(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？ (3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？ 8.(★★★★★)已知点的序列An(xn，0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a＞0),A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，…. (1)写出xn与xn－1、xn－2之间关系式(n≥3);

(2)设an=xn+1－xn，计算a1,a2,a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明；