习题解答
第二章
2.1计算：(1)?pi?iq?qj?jk，(2)epqieijkAjk，(3)eijpeklpBkiBlj。 解：(1)?pi?iq?qj?jk(2)epqieijkAjk
2.2证明：若aij(3)eijpeklpBkiBlj??pq?qj?jk??pj?jk??pk;
?(?ik?jl??il?jk)BkiBlj?BiiBjj?BjiBij。
?(?pj?qk??pk?qj)Ajk?Apq?Aqp;
?aji，则eijkajk?0。
证：2eijkajk?eijkajk?eikjakj?eijkajk?eijkakj?eijkajk?eijkajk?0。
2.3设a、b和c是三个矢量，试证明：
a?aa?ba?cb?ab?bb?c?[a,b,c]2 c?ac?bc?ca?aa?ba?caiaiaibiaicia1a2a3a1b1c12证：b?ab?bb?c?biaibibibici?b1b2b3a2b2c2?[a,b,c]。
c?ac?bc?cciaicibicicic1c2c3a3b3c3
2.4设a、b、c和d是四个矢量，证明：
(a?b)?(c?d)?(a?c)(b?d)?(a?d)(b?c)
证：(a?b)?(c?d)?aibjeijkek?cldmelmnen?aibjcldmeijkelmk ?aibjcldm(?il?jm??im?jl)?(aici)(bjdj)?(aidi)(bjcj) ?(a?c)(b?d)?(a?d)(b?c)。
zz'2.5设有矢量u?uiei。原坐标系绕z轴转动?角度，得到新坐标系，如图2.4所示。试求矢量u在新坐标系中的分量。 解：?1?1?cos?，?1?2?sin?，?1?3?0， ?2?1??sin?，?2?2?cos?，?2?3?0， ?3?1?0，?3?2?0，?3?3?1。 u1???1?iui?u1cos??u2sin?，
y'ox?x'图2.4?y1
u2???2?iui??u1sin??u2cos?，
u3???3?iui?u3。
2.6设有二阶张量T?Tijei?ej。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量T在新坐标系
中的分量T1?1?、T1?2?、T1?3?和T3?3?。 解：变换系数同上题。
T1?1???1?i?1?jTij?T11?T222?T11?T222cos2??T12?T212sin2?， T1?2??T12?T21?T12?T21T?T22cos2??22112sin2?，
T1?3??T13cos??T23sin?， T3?3??T33。
2.7设有3n个数Ai1i2???in，对任意m阶张量Bj1j2???jm，定义
Ci1i2???inj1j2???jm?Ai1i2???inBj1j2???jm
若Ci1i2???inj1j2???jm为n?m阶张量，试证明
Ai1i2???in是n阶张量。
证：为书写简单起见，取n?2，m?2，则 Cijkl?AijBkl，
在新坐标系中，有
Ci?j?k?l??Ai?j?Bk?l? (a)
因为Cijkl和Bkl是张量，所以有
Ci?j?k?l???i?i?j?j?k?k?l?lCijkl??i?i?j?jAij?k?k?l?lBkl??i?i?j?jAijBk?l?
比较上式和式(a)，得
(Ai?j???i?i?j?jAij)Bk?l??0
由于B是任意张量，故上式成立的充要条件是 Ai?j???i?i?j?jAij
即Aij是张量。 2.8设
A为二阶张量，试证明I??A?trA。
证：I??A?ei?ei??Ajkej?ek=Ajk(ei?ej)(ei?ek)=Ajk?ij?ik=Aii=trA。
2.9设a为矢量，A为二阶张量，试证明：
2
(1)a?A??(AT?a)T，(2)A?a??(a?AT)T 证：(1) ?(AT?a)T??(Ajiei?ej?akek)T??(Ajiei?akejknen)T
??Ajnakejkiei?en
??(Ajiakejknei?en)T (2) ?(a?AT)T ?akek?Ajnej?en?a?A。
??(aiei?Akjej?ek)T??(Akjaieijnen?ek)T
??(Anjaieijken?ek)?Anjen?aiejikek
?Anjen?ej?aiei?A?a
2.10已知张量T具有矩阵
?123? [T]??456?
?789??? 求T的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。
解：T的对称部分具有矩阵
?135?1 ([T]?[T]T)??357?， 2?579??? T的反对称部分具有矩阵
?0?1?2?1 ([T]?[T]T)??10?1?。 2?210??? 和反对称部分对应的轴向矢量为 ω?e1?2e2?e3。
2.11已知二阶张量T的矩阵为
?3?10?[T]???130?
?001???求T的特征值和特征矢量。
3???10解：?13??0?(1??)[(3??)2?1]?0
001??由上式解得三个特征值为?1?4，?2?2，?3?1。
将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45)，可以求出三个特征矢量为
3
a1?11(e1?e2)，a?(e1+e2)，a3?e3。 22
2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：
A??I??m?m，B?m?n?n?m
其中，?和?是实数，m和n是两个相互垂直的单位矢量。 解：因为
A?m?(?I??m?m)?m?(???)m，
所以m是A的特征矢量，??? 是和其对应的特征值。设a是和m垂直的任意单
位矢量，则有
A?a?(?I??m?m)?a??a
所以和m垂直的任意单位矢量都是征方程的重根。 令 e2?则有
A的特征矢量，相应的特征值为?，显然?是特
11(m?n)，e3?(m?n)，e1=e2?e3 2222(e2+e3)，n?(?e2+e3) 22上面定义的ei是相互垂直的单位矢量。张量B可以表示成 B?0e1?e1?e2?e2+e3?e3
所以，三个特征值是1、0和－1，对应的特征矢量是e3、e1和e2。
m?
2.13设a和b是矢量，证明：
(1)??(??a)??(??a)??2a
(2)??(a?b)?b?(?a)?a?(?b)?a(??b)?b(??a)
证：(1) 这一等式的证明过程和书中证明式(2.14)的过程相同，在此略。 (2) ??(a?b)?ei???(ajej?bkek)?ei?(ajbkejkmem) ?xi?xi ?(aj,ibk?ajbk,i)ejkmeimnen?(aj,ibk?ajbk,i)(?jn?ki??ji?kn)en ?aj,ibiej?ajbi,iej?aj,jbkek?aibk,iek ?b?(?a)?a?(?b)?a(??b)?b(??a)
2.14设a?x2yze1?2xz3e2?xz2e3，求w?1(a???a)及其轴向矢量。 24
解：w?1(a???a) 2?1[(x2z?2z3)e1?e2?(x2y?z2)e1?e3?(2z3?x2z)e2?e1 2 ?6xz2e2?e3?(z2?x2y)e3?e1?6xz2e3?e2] 由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量 ω?1??a?1[6xz2e1?(x2y?z2)e2?(2z3?x2z)e3]。 22
2.15设S是一闭曲面，r是从原点O到任意一点的矢径，试证明：
(1)若原点O在S的外面，积分(2)若原点O在S的内部，积分证：(1)当r?0时，有 ??(n?r?r3dS?0； Sn?r?r3dS?4?。 Sr?xi)?()?0 (b) r3?xir3因为原点在S的外面，上式在S所围的区域V中处处成立，所以由高斯公式得 n?rr?r3dS????(r3)dv?0。 SV(2)因为原点在S的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为a的球面S?完全在S的内部。用V表示由S和S?所围的区域，在V中式(b)成立，所以
n?rn?rn?rrdS?dS?dS???(??r3?r3??r3?r3)dV?0
S?SSSVn?rn?rdS???r3??r3dS SS 即
在S?上，r?a，n??r/a，于是 2.16设
?rSn?r3dS???n?r11dS??2dS?2?dS?4?。 3raaS?S?S?f?ye1?(x?2xz)e2?xye3，试计算积分?(??f)?ndS。式中S是球面
S在xy平面的上面部分. x2?y2?z2?a2 解：用c表示圆x2?y2?a2，即球面x2?y2?z2?a2和xy平面的交线。由Stokes
公式得
5
?(??f)?ndS???f?dr???ydx?xdy?0。
Scc第三章
??r?u。求3.1设r是矢径、u是位移，r逆 的二阶张量。 解：
??drdr，并证明：当ui,j??1时，是一个可drdr?drdudr???I?u? drdrdr?dr?I?u?的行列式就是书中的式(3.2)，当ui,j??1时，这一行列式大于零，所dr?dr以可逆。 dr
3.2设位移场为u?A?r，这里的A是二阶常张量，即
称张量Ω?(u???u)/2及其轴向矢量ω。 解：u??A，ε? ω?A和r无关。求应变张量ε、反对
11(A?AT)，Ω?(A?AT)， 2211???u?ei?Ajkej?ek?xlel 22?xi111 ?Ajkeijmem?ek??ilel?Ajkeijmem?ki?Ajieijmem
222
3.3设位移场为u?A?r，这里的A是二阶常张量，且ui,j?1。请证明：
(1)变形前的直线在变形后仍为直线；
(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面；
(3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。 证：(1)方向和矢量a相同且过矢径为r0的点的直线方程可以写成
r?ta?r0 (1) 其中t是可变的参数。变形后的矢径为
??r?u?r?A?r?(I?A)?r (2) r 用I?A点积式(1)的两边，并利用式(2),得
??t(I?A)?a?(I?A)?r0 r 上式也是直线方程，所表示的直线和矢量(I?A)?a平行，过矢径为(I?A)?r0的点。
所以变形前的直线变形后仍然是直线。 6
(2)因为
ui,j?1，所以I?A可逆。记B?(I?A)?1，则
??B?r? (3) r?(I?A)?1?r 变形前任意一个平面的方程可以表示成
a?r?c (4) 其中a是和平面垂直的一个常矢量，c是常数。将式(3)代入式(4)，得
??c (5) (a?B)?r 上式表示的是和矢量a?B垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。
(3)变形前两个平行的平面可以表示成 a?r?c1，a?r?c2 变形后变成
??c1，(a?B)?r??c2 (a?B)?r 仍是两个平行的平面。
3.4在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间
夹角的变化；反之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。 答案：能；能。
3.5设位移场为u?A?r，其中A是二阶常张量，n和m是两个单位矢量，它们之间的夹
角为?。求变形后?的减小量。 解：n和m方向的正应变分别为 ?n?n?ε?n，?m?m?ε?m
用?n和?m代替式(3.11)中的?1和?2，经整理，得?的减小量??为
2n?ε?m?ctg?(n?ε?n?m?ε?m) sin? 又ε?(A?AT)/2，所以
1 ???n?(A?AT)?m?ctg?(n?A?n?m?A?m)。
sin? ???
3.6设n和m是两个单位矢量，dr?ndr和?r?m?r是两个微小的矢量，变形前它们
A?dr??r，试用应变张量把变形时它的面积变化率
?A/A表示出来，其中?A是面积变形前后的改变量。 解：变形后，dr和?r变成
??d???r?ε??r?ω??r r?ε?rdω??rd，?r dr 对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得
???r??dr??r?dr?ε??r?dr????r dr所张的平行四边形面积为
对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得
7
???r?)?(dr???r?) (dr ?(dr??r)?(dr??r)?2(dr?ε??r)?(dr??r)?2(dr????r)?(dr??r) (a)
注意到
???r?)?(dr???r?)?(A??A)2?A2?2(?A)A (dr(dr??r)?(dr??r)?A2
?A(dr?ε??r)?(dr??r)?(dr?ε??r)?(dr??r)? A(dr??r)?(dr??r)?(n?ε?m)?(n?m)?(n?ε?m)?(n?m)
(n?m)?(n?m) 所以，从式(a)可得
利用习题2.4中的等式，上式也可写成
3.7设在一个确定的坐标系中的应变分量为?ij，让坐标系绕z轴转动?角，得一个新的坐
标系，求在新坐标系中的应变分量。 解：?1?1?cos?，?1?2?sin?，?1?3?0， ?2?1??sin?，?2?2?cos?，?2?3?0， ?3?1?0，?3?2?0，?3?3?1。 ?x???A?n?ε?n?2(n?ε?m)(n?m)?m?ε?m A1?(n?m)2?cos2???xysin2?，
22?x??y?x??y ?y???cos2???xysin2?，
22?x??y ?x?y???sin2???xycos2?，
2 ?x?z???xzcos???yzsin?，
?x??y?x??yy?y?z????xzsin???yzcos?
，?z???z
c120?b60?3.8在Oxy平面上，Oa、Ob、Oc和x轴正方
向之间的夹角分别为0?、60?、120?，如图
?b3.9所示，这三个方向的正应变分别为?a、
和?c。求平面上任意方向的相对伸长度?n。 解：在Oxy平面中，和x方向成?角的方向，
其方向余弦为 8
aO图3.9x n1?cos?，n2?sin?，n3?0 这一方向的相对伸长度为 ?n??ijninj
??xcos2??2?xysin?cos???ysin2? ??x??y?x??y2?2cos2???xysin2?
?A?Bcos2??Csin2? (a) 利用上式，可得 ?a?A?B，?b?A?1B?23C，?b?A?1B?23C 22 解之，得 A??a??b??c3 将求出的A、B和C代回式(a)，得
?n?，B?2?a??b??cC?3(???)，bc
33cos2??3(?b??c)sin2?
3?a??b??c2?a??b??c3?3
3.9试说明下列应变分量是否可能发生： ?x?axy2，?y ?yz?ax2y，?z?axy，
?ay2?bz2，?xz?ax2?by2，?xy?0
其中a和b为常数。
解：如果列出的应变分量是可能的，则必须满足协调方程。将题中的应变分量代入协
调方程(3.34c)，可以发现，必须有a?b?0。所以当a和b不为零时，上述应变分量是不可能发生的。
3.10确定常数A0，A1，B0，B1，C0，C1，C2之间的关系，使下列应变分量满足协
调方程
2244 ?x?A0?A1(x?y)?x?y，
?y?B0?B1(x2?y2)?x4?y4， ?xy?C0?C1xy(x2?y2?C2)， ?z??zx??zy?0。
解：将所给应变分量代入协调方程，可以得到常数之间的关系如下：
A1?B1?2C2。
其它三个常数A0、B0、C0可以是任意的。
C1?4，
3.11若物体的变形是均匀的，即应变张量和空间位置无关，试写出位移的一般表达式。
9
解：由于应变张量ε和空间位置无关，所以书中的式(3.36a)简化成 u?u0?ω0?(r?r0)??ε?dr?u?ω?(r?r)?ε?(r?r)
r00000r 其中u0是任意的刚体平移，ω0是任意的角位移矢量。
3.12设?x?ax，?y?by，?z?cz，?xy??yz??zx?0，其中a，b，c是常量，求位移的一般表达式。
解：所给的应变张量是，
ε?axe1?e1?bye2?e2?cze3?e3 很容易验证ε???0，且有 ??dr?axe1dx?bye2dy?cze3dz? 所以从式(3.36a),得 u?u0?ω0?(r?r0)? ?u0?ω0?(r?r0)?r1d(ax2e1?by2e2?cz2e3) 2?ε?dr
r001rd(ax2e1?by2e2?cz2e3) ?2r12 ?u0?ω0?(r?r0)?[a(x2?x0)e1?b(y2?y02)e2?c(z2?z02)e3] 2
第四章
4.1已知物体内一点的六个应力分量为：
?x?50a，?y?0，?z??30a，?yz??75a，?zx?80a，?xy?50a 试求法线方向余弦为n1?1，n2?1，n3?22剪应力?n。
解：应力矢量T的三个分量为 T1??1ini12的微分面上的总应力T、正应力?n和
?106.57a，T2??28.033a，T3??18.71a
总应力T? 剪应力?n?T12?T22?T32?111.8a。
?26.04a。
2T2??n?108.7a。
正应力?n?Tini
4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为n和m，在这两个面上的应力矢量分别为T1和T2，试证T1?m?T2?n。 证：利用应力张量的对称性，可得 10
T1?m?(n?σ)?m??ijnimj??jinimj?(m?σ)?n?T2?n。证毕。
4.3某点的应力张量为
??x?xy?xz??012? ??yx?y?yz???1?y1?
??zx?zy?z??210????? 且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求?y及该平面的单位法向矢量。 解：设要求的单位法向矢量为ni，则按题意有 ?ijnj 即
n2?2n3?0，n1??yn2?n3?0，2n1?n2?0 (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 (2?y?2)n2?0
上式有两个解：n2?0或?y可求得 n???0
?1。若n2?0，则代入式(a)中的三个式子，可得
n1?n3?0，这是不可能的。所以必有?y?1。将?y?1代入式(a)，利用nini?1，
e1?2e2?e3。 6
4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由，
试验证应力分量 ?x?A(?arctg ?y ?zyxy?22?C) xx?yyxy?A(?arctg?22?B)
xx?y??yz??xz?0，?xy??Ay2
x2?y2O?xyq图4.8 满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数
A、B和C。
解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们
满足平衡方程。
在y?0的边界上，有边界条件 (?y)y?0??q，(?xy)y?0?0
所给的应力分量?xy自动满足上面的第二个条件。将?y的表达式代入上面的第一个条
11
件，得
AB??q (1) 在上斜面上，有
y??xtg?，所以斜面上的应力分量可以简化成
?x?A(??sin?cos??C)，?x?A(??sin?cos??B)，
?xy??Asin2?，?z??yz??xz?0 (2)
斜面上的外法向方向余弦为
n1??sin?，n2??cos?，n3?0 (3) 将式(2)和(3)代入边界条件?ijnj ??0，得
???C?0 (4)
A(sin???cos?)?ABcos??0?A?q，B?tg???，C???
??tg? 联立求解(1)和(4)，得
4.5图4.9表示一三角形水坝，已求得应力分量为 ?x?ax?by，?y ?yz?cx?dy，?z?0，
xO??xz?0，?xy??dx?ay??x
?和?1分别是坝身和水的比重。求常数a、b、c、d，使上述应力分量满足边界条件。 解：在x?0的边界上，有边界条件 (?x)x?0???1y，(?xy)x?0?0
将题中的应力分量代入上面两式，可解得：a?0，
??1yy图4.9b???1。
在左侧的斜面上，x?ytg?，外法向方向余弦为 n1?cos?，n2??sin?，n3?0
把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件?ijnj?0，可解得：
d??1ctg2???，c?ctg?(??2?1ctg2?)。
4.6物体的表面由
f(x,y,z)?0确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷
p(x,y,z)，试写出其边界条件。
解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为
12
n??f?f??f 或 ni?f,if,kf,k 按题意，边界条件为 σ?n?pn 因此 σ??f?f??f?p?f?f??f 即 σ??f?p?f
上式的指标形式为 ?ijf,j?pf,i。
4.7如图4.10所示，半径为a的球体，一半沉浸在密度为?的液体内，试写出该球的全
部边界条件。
aOz
n?图4.10 解：球面的外法向单位矢量为
当z?0时，有边界条件
xrxiei 或 ni?i ?aaa?0。
???gzxi。
σ?n?0 即 σ?r?0 或 ?ijxj 当z?0时，球面上的压力为?gz，其中g为重力加速度，边界条件为 ??n???gzn 即 σ?r???gzr 或 ?ijxj
4.8物体的应力状态为?ij???ij，其中?为矢径r的函数。(1)证明物体所受的体积力是有势力，即存在一个函数?，使f????；(2)写出物体表面上的面力表达式。
解：(1)应力场必须满足平衡方程，所以
f????σ?????I???,iei?I???,iei????
所以，只要令???，就有f????。
(2)表面上的面力为 T?n?σ??n?I??n 或 Ti??nj。
13
4.9已知六个应力分量?ij中的?3i?0，求应力张量的不变量并导出主应力公式。
2，I?0。 解：应力张量的三个不变量为：I1??x??y，I2??x?y??xy3 特征方程是
?3?I1?2?I2???(?2?I1??I2)?0 上式的三个根即三个主应力为??0和 ?
4.10已知三个主应力为?1、?2和?3，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三
角形，其法向单位矢量为 n1????x??y2??x??y?2????xy??2?2 333，n2??，n3?? 333 求八面体各个面上的正应力?0和剪应力?0。 解：?0??ijninj1?(?1??2??3)， 3 T??ijnjei，T2?T?T??i2ni2? ?0?
2T2??0??12??22??323，
1(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2。 34.11某点的应力分量为?11??22??33?0，?12??23??31??，求： (1)过此点法向为n?1(e1?e2?e3)的面上的正应力和剪应力； 32?(e1?e2?e3)， 3 (2)主方向、主应力、最大剪应力及其方向。 解：(1)T??ijnjei? T2?T?T?4?2。 正应力为?n?T?n?2?。 剪应力为?n?2T2??n?0。
由此可知，2?是主应力，n? (2)用?表示主应力，则
1(e1?e2?e3)是和其对应的主方向。 314
?? ??????(???)2(??2?)?0
???? 所以，三个主应力是?1?2?，?2??3???。由上面的结论可知，和?1对应的主
方向是n，又因为?2??3???是重根，所以和n垂直的任何方向都是主方向。
??第五章
5.1把线性各向同性弹性体的应变用应力表示为?ij具体表达式。 解：?ij 所以 Cijkl试写出柔度系数张量Cijkl的?Cijkl?kl，
?1???ij???kk?ij?[1??(?ik?jl??il?jk)???ij?kl]?kl
EE2EE1????[(?ik?jl??il?jk)??ij?kl]。 2EE
5.2橡皮立方块放在同样大小的铁盒内，在上面用铁盖封闭，铁盖上受均布压力q作用，
如图5.2所示。设铁盒和铁盖可以作为刚体看待，而且橡皮与铁盒之间无摩擦力。试求铁盒内侧面所受的压力、橡皮块的体积应变和橡皮中的最大剪应力。
q铁盖橡皮铁盒
按题意有 ?z
解：取压力q的方向为z的方向，和其垂直的两个相互垂直的方向为x、
图5.2y的方向。
??q，?x??y?0，?x??y??p
由胡克定律得 ?x?11[?x??(?y??z)]?[(??1)p??q]?0 EE 所以盒内侧面的压力为
15
p??q 1??12?2?v?1(2??1)(??1)??z?[?z??(?x??y)]?q?q
EE(1??)E(1??) 体积应变为 ???ii 最大剪应力为 ?max??z??x2?1?2?q。
2(1??)
5.3证明：对线性各向同性的弹性体来说，应力主方向与应变主方向是一致的。非各向同
性体是否具有这样的性质？试举例说明。 解：对各向同性材料，设ni是应力的主方向，?是相应的主应力，则
?ijnj??ni (1) 各向同性的胡克定律是 ?ij????ij?2??ij
??ni，即
将上式代入式(1)，得??ni?2??ijnj ?ijnj1(????)ni 2? 由此可知，ni也是应变的主方向。类似地可证，应变主方向也是应力主方向。因此，
?应力主方向和应变主方向一致。
下面假定材料性质具有一个对称面。设所取的坐标系是应变主坐标系，且材料性
质关于Oxy平面对称。因为?xy?0，所以从式(5.14)得 ?xy?C41?x?C42?y?C43?z
若应变主坐标系也是应力主坐标系，则?xy?0，即 C41?x?C42?y?C43?z?0
上式只能在特殊的应变状态下才能成立。总之，对各向异性材料，应力主方向和应变
主方向不一定相同。
5.4对各向同性材料，试写出应力不变量和应变不变量之间的关系。 解：由式(5.17)可得主应力和主应变之间的关系
?i????2??i (1) 从上式得
I1????ii?(3??2?)??(3??2?)J1 (2) I2??1?2??2?3??3?1 16
?(2??1???)(2??2???)?(2??2???)(2??3???)?(2??3???)(2??1???) ?(3??4?)?J12?4?2J2 （3） I3??1?2?3?(???2??1)(???2??2)(???2??3)
??2(??2?)J13?4?2?J1J2?8?3J3 (4)
式(2)、(3)、(4)就是用应变不变量表示应力不变量的关系。也容易得到用应力不变量
表示应变不变量的关系。
第六章
6.1为什么同时以应力、应变和位移15个量作未知函数求解时，应变协调方程是自动满足
的？
解：因为应变和位移满足几何方程，所以应变协调方程自动满足。
6.2设
??ge2?y?g?2??(Ae1?Be2)
其中f、g、A、B为调和函数，问常数?为何值时，上述的u为无体力弹性力学
u??f的位移场。
解：??(??Ae1)?ek??(ei??Ae1)?ek??A,iei1jej?A,ijeji1?0 ?xk?xi?xk 同理??(??Be2)?0。 由上面两式及
f和g是调和函数可得
????u?(1??)g,2
???(1??)?g,2 (1) 因
f、g、A、B为调和函数，所以
?2u?2?g,2 (2) 将式(1)、(2)代入无体力的Lamé-Navier方程，得 [(???)(1??)?2?]?g,2?0 上式成立的条件是
(???)(1??)?2??0 即 ????3????。
6.3已知弹性体的应力场为
17
?x?2x，?y?2y?x，?xy??2x?2y，?zx??zy?0，?z(1) 求此弹性力学问题的体力场；
(2) 本题所给应力分量是否为弹性力学问题的应力场。
??2z。
解：(1)将所给的应力分量代入平衡方程，就可以得到体力场为
f?2e3。
(2)所给的应力分量和已求出的体积力满足Beltrami-Michell应力协调方程，所以给出的应力分量是弹性力学问题的应力场。
6.4证明下述Betti互易公式
?dS?f?dS??fu?dV????Tu?Tu??udV，
iiiiiiiiSVSV其中Ti、
?i、f?i、u?i分别为同一弹性体上的两组面力、体力和位移。 fi、ui和Tiiijjiii证：利用平衡方程、几何方程和弹性模量张量的对称性，可得
?dS??fu?dV???dS??fu?dV
??Tu??nuiiSVSV?ijdV ?i??iju?i,j)??fiu?idV??(?ij,j?fi)uidV???ij???(?ij,juVVVV?ijdV??Eijkl?kl??ijdV??Eklij??ij?kldV????kl?kldV ???ij?VVVV?iuidV ?ijui,jdV??[(??ijui),j???ij,jui]dV???ijnjuidS??f?????VVSV?iidS?f???Tu??iuidV。 证毕。
SV
6.5如果体积力为零，试验证下述(Papkovich-Neuber)位移满足平衡方程
u?p?1?(P0?p?r)
4(1??)其中?2p?0，?2P0?0。 证：无体力的Lamé-Navier方程为
(???)?(??u)???2u?0 ???1?又，所以Lamé-Navier方程可以写成 ?1?2?1?2u??(??u)?0
1?2?将所给的位移代入上式的左边，并利用?2(r?p)?2??p?r??2p，可得
18
?2u?11?(??u)??2p??(?2p0?r??2p) 1?2?2(1?2?)因为p和
p0是调和的，所以上式为零，即所给位移满足平衡方程。
6.6设有受纯弯的等截面直杆，取杆的形心轴为x轴，弯矩所在的主平面为Oxy平面。试
证下述位移分量是该问题的解
Mxy??yz??zy?u0 EIM2 v??(x??y2??z2)??zx??xz?v0
2EI?Myz??y??x?w。
w??xy0EI u? 提示：在杆的端面上，按圣维南原理，已知面力的边界条件可以放松为
??dA?0，??zdA?0，??xxAAAxydA?M
其中A是杆的横截面。
证：容易验证所给的位移分量满足无体力时的Lamé-Navier方程。用所给的位移可以
求出应变，然后用胡克定律可以求出应力：
?x?My，其它应力分量为零。 (a) I
上述应力分量满足杆侧面无面力的边界条件。杆端面的边界条件为
?xz??yz?0，??xdA?0，??xzdA?0，??xydA?MAAA 式(a)表示的应力分量满足上述端面条件。所以，所给的位移分量是受纯弯直杆的解。
6.7图6.6表示一矩形板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压，求应力和位移。
q2yq1Oxq1q2图6.6
解：显然板中的应力状态是均匀的。容易验证下述应力分量
19
?x?q1，?y??q2，?z??xy??yz??zx?0
11?ε?(q1??q2)e1?e1?(q2??q1)e2?e2?(q1?q2)e3?e3 EEEu?u0?ω0?(r?r0)?1(q??q2)(x?x0)e1E1 满足平衡方程、协调方程和边界条件，即是本问题的解。由胡克定律可求得应变为
利用题3.11的结果，可求得位移为
?1(q2??q1)(y?y0)e2??(q1?q2)(z?z0)e3EE
6.8弹性半空间z?0，比重为?，边界z?0上作用有均布压力q，设在z?h处w?0，求位移和应力。
解：由问题的对称性，可以假设 u?v?0，w?w(z)
把上述位移分量代入Lamé-Navier方程，可以发现有两个自动满足，余下的一个变成
?d2w?? dz2??2? 解之得 w???2(??2?)z2?Az?B
A、B是待定常数。由已知条件得
?h2?Ah?B?0 w(h)??2(??2?)?h2?Ah 所以 B?2(??2?)?(z2?h)2?A(z?h) w??2(??2?) 其中的 应力分量为 ?x??y???dw??[?z?A]，dz??2?z?A]，?xy??yz??zx?0。
??2? 在z?0边界上的边界条件为：T1?0，T2?0，T3?q。前两个条件自动满足，最后
dz一个成为
?z?(??2?)dw?(??2?)[??20
?(??2?)A?q 即 A?? 所以最后得 w?? ?zq(1?2?)q??
??2?2G(1??)(1?2?)(z?h)[?(z?h)?2q]，u?v?0；
4G(1??)??(?z?q)，?x??y???(?z?q)，??????0。
xyyzzx1??
6.9设一等截面杆受轴向拉力
p作用，杆的横截面积为A，求应力分量和位移分量。设z
轴和杆的轴线重合，原点取在杆长的一半处；并设在原点处，u?v?w?0，且
?u?v?v???0。 ?z?z?xp，?x??y??xy??yz??zx?0； A?p?pp u??z。 x，v??y，w?EAEAEA 答案：?z?6.10当体力为零时，应力分量为
?x?A[y2??(x2?y2)]，?yz?0， ?y?A[x2??(y2?x2)]，?zx ?z?0，
?A?(x2?y2)，?xy??2A?xy
式中，A?0。试检查它们是否可能发生。
解：所给应力分量满足平衡方程，但不满足协调方程，故不可能发生。
P6.11图6.7所示的矩形截面长杆偏心受压，压力为P，偏心距为e，
O杆的横截面积为A，求应力分量。 e 解：根据杆的受力特点，假设
x????x，?x??y??xy??yz??zx?0
其中?、?是待定的常数。上述应力分量满足无体力时的平
?z衡方程和协调方程，也满足杆侧面的边界条件。按圣维南原理，杆端的边界条件可以放松为 ?zxy?0，?zy?0，??zdA?0，??zxdA??Pe
AAz图6.7 前面两个条件自动满足，将应力分量代入后两个条件，可求得 ???PPe，???，其中I??x2dA。 AIA21
所以，得最后的应力分量为
?z??(P?Pex)，?x??y??xy??yz??zx?0。
AI
6.12长方形板ABCD，厚度为h，两对边分别受均布的弯矩M1和M2作用，如图6.8
所示。验证应力分量 ?x?12M1z12M2z，，?z??xy??yz??zx?0 ??yh3h3D 是否是该问题的弹性力学空间问题的解答。
M2AM1xM1B
图6.8
h2h2yzM2C 解：所给应力分量满足无体力的平衡方程和协调(Beltrami-Michell)方程，也满足板
面上无面力的边界条件。板边CD上的边界条件可以放松为 ?xy?0，?xz?0，??xdz?0，??xzdz?M1
?h2?h2 容易验证应力分量满足上述条件。同样可以说明应力分量满足板边
上的边界条件。所以，所给的应力分量是所提空间问题的解答。
AB、BC、AD第七章
7.1在常体力的情况下，为什么说平面问题中应力函数?应满足的方程?2?2??0表示协调条件？
解：在无体力的情况，不管是平面应力问题还是平面应变问题，用应力表示的协调方
程都是 ?2(?x??y)?0
若把用应力函数表示的应力，即?x? ?2?2??0
所以，上式就是用应力函数表示的协调条件。 22
?2??2?、?y?2代入上式，就可以得到 ?y2?x7.3设有任意形状的等厚度博板，不计体力，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压
力q，求板中的应力分量。 答案：?x??y??q，?z??xy??yz??zx?0。
7.4图7.5所示悬壁梁受均布载荷q作用，求应力分量。提示：假定?y和x无关。 解：假定?y和x无关，即?y有
?f(y)，于是
aaOqx?2? ?y?2?f(y)
?x 积分两次，得
12xf(y)?xf1(y)?f2(y) (1) 2 其中f1(y)和f2(y)是y的待定函数。将应力
函数?代入双调和方程，得
??y图7.51d4f(y)2d4f1(y)d4f2(y)d2f(y)x?x??2?0
2dy4dy4dy4dy2 上式对任意x?[0,l]成立的充要条件是
d4f1(y)d4f2(y)d4f(y)d2f(y)?0?0?2?0 (2) ，，dy4dy4dy4dy2 解上面的前两式，得
f(y)?Ay3?By2?Cy?D，f1(y)?Fy3?Gy2?Hy
f1(y)中略去了不影响应力的常数项。由式(2)中的第三个方程，得
d4f2(y)d2f(y)??2??12Ay?4B
dy4dy2 所以，有
f2(y)??A5B4y?y?Ly3?Ky2 106f、f1和f2代入式
在上式中略去了不影响应力的常数项和线性项。将求出的函数
(1)，得 ??x2AB(Ay3?By2?Cy?D)?x(Fy3?Gy2?Hy)?y5?y4?Ly3?Ky2 2106 应力分量为
?2?x2(6Ay?2B)?x(6Fy?2G)?2Ay3?2By2?6Ly?2K ?x?2??y223
?2? ?y?2?Ay3?By2?Cy?D
?x?2???x(3Ay2?2By?C)?(3Fy2?2Gy?H) ?xy???x?y 本问题的边界条件是：
(?y)y??a??q，(?xy)y??a?0 (3) (?y)y?a?0，(?xy)y?a?0 (4) (?xy)x?l?0 (5)
?aa?a(?x)x?ldy?0,??ay(?x)x?ldy?0 (6)
由条件(5)可求得
F??Al，G??Bl，H??Cl 由条件(3)和(4)可以求得
A??q4a3，B?0，C?3qq4a，D??2 将求得的常数代入应力分量表达式，得
???x??3q(x2?xl)y?qy3?6Ly?2K?2a322a3 ???q3y (7)
?y??2(1?2a?y32a3)????xy?3q4a(l?x)(1?y2a2) 由条件(6)中的第一个条件可以求得K?0，由(6)中的第二个条件可以求得ql2 L??q8a3?20a
最后的应力分量为
??23??q(l?x)y?q(y?3y?x?2I2a35a) ???q3yy3?y??2(1?2a?2a3)
????xy?3q4a(l?x)(1?y2a2) 其中，I?2a33是截面的惯性矩。 24
7.5图7.6所示的简支梁只受重力作用，梁的密度为?，重力加速度为g，???g，求
应力分量。提示：假定?y和x无关。 解：假设
h2??2 ?hOy??x2??y?f(y)??y
2? 即
lyl?2 ??x2?f(y)
图7.6 经过和上题类似的运算，可以得到和上题相同的应力函数 ??x2(Ay3?By2?Cy?D)?x(Fy3?Gy2?Hy)?Ay5?By4?Ly3?Ky22106 应力分量为
??2?x2x??y2?2(6Ay?2B)?x(6Fy?2G)?2Ay3?2By2?6Ly?2K ??2?y??x2??y?Ay3?By2?Cy?D??y
??2?xy???x?y??x(3Ay2?2By?C)?(3Fy2?2Gy?H) 由对称性可知，(?xy)x?0?0，所以3Fy2?2Gy?H?0，由此得 F?0，G?0，H?0
在梁的任意截面上，x方向的合力为零，即 h
?22Bh2?h?xdy?Bhx?2h(K?212)?0
故有
B?0，K?0
利用上面求得的结果，应力分量的表达式简化为 ?x?3Ax2y?2Ay3?6Ly ?y?Ay3?Cy?D??y ?xy??x(3Ay2?C) 在梁的端部有条件
?h2?hy(?x)x??ldy?0
2 在梁的上下表面上有条件 (?y)y??h?0，(?2xy)y??h?0
2 将应力分量表达式代入上述条件，可以求得
x25
A??2?3??2h2D?0，，，C?L?(l?)
h22h210 最后的应力分量为
4y23?h2212 ?x?3(l?x)y??y(2?) h2h54y24y2?3? ?y?(1?2)y，?xy??(1?2)x。
2h2h
7.6设有矩形截面的竖柱，其密度为?，在一边侧面上受均布剪力q，见图7.7，求应力
分量。提示：假设?x 解：设?x? ??yf(x)?2?0或?xy?f(x)。
Ohx???0，积分得 ?y2f1(x)
把上式代入双调和方程，得
?gqd4f(x)d4f1(x) y??0
dx4dx4 因而有
d4f1(x)d4f(x) ?0，?0
dx4dx4 所以
y图7.7f(x)?Ax3?Bx2?Cx，f1(x)?Dx3?Fx2
f(x)和f1(x)的表达式中略去了不影响应力分量的项。应力函数为
在
??y(Ax3?Bx2?Cx)?Dx3?Fx2 应力分量为 ?x?0
?2? ?y?2??gy?y(6Ax?2B)?6Dx?2F??gy
?x ?xy??(3Ax2?2Bx?C) 边界条件是
(?xy)x?0?0，(?xy)x?h?q，
??0hxydx?0
?h0(?y)y?0dx?0，?x(?y)y?0dx?0
0h 把应力分量的表达式代入上述条件，可以求得
26
A??qq，，C?0，D?0，F?0 B?h2h2qxx3xy(1?)??gy，?xy?q(3?2)。
hhhh??1g，求应
Oh2h2 最后的应力分量为 ?x
7.7图7.8表示一挡水墙，墙体的密度为?，p??g，水的密度为?1，?力分量。提示：设?x?yf(x)。
?0，?y??2? 解：设?x?2?yf(x)，积分两次，得
?y ??x13yf(x)?yf1(x)?f2(x) 6p?y 将上式代入双调和方程，得
d4f1(x)d2f(x)d4f2(x)d4f(x)13 y?y(?2)??0
6dx4dx4dx2dx4 上式成立的充要条件是
d4f1(x)d2f(x)d4f2(x)d4f(x) ?0，?2?0，?0
dx4dx4dx2dx4 解上述三个方程，得
y图7.8f(x)?Ax3?Bx2?Cx?D
11 f1(x)??Ax5?Bx4?Hx3?Kx2?Lx
10632 f2(x)?Fx?Gx
在上面的三个函数中，已略去了不影响应力分量的项。应力函数为
13y(Ax3?Bx2?Cx?D) 611 ?y(?Ax5?Bx4?Hx3?Kx2?Lx)?Fx3?Gx2
106 ?? 应力分量为
?2??y(Ax3?Bx2?Cx?D) ?x?2?y ?y??2?13?py?y(6Ax?2B) ?x26 ?y(?2Ax3?2Bx2?6Hx?2K)?6Fx?2G?py
27
?2?112??y2(3Ax2?2Bx?C)?(?Ax4?Bx3?3Hx2?2Kx?L) ?xy???x?y223 边界条件为 (?xy)x??h2?0，(?x)x???0，(?xy)x??0，(?x)x????y
h2h2h2 (?y)y?0?0，
?h2?h2(?xy)y?0dx?0
把应力分量的表达式代入上述条件，可以求得 A?2?3????hB?0F?0G?0K?0，，，，，，，， C??H?D??L??h32h10h280 应力分量为
x33x1 ?x??y(23??)
h2h22?3?4? ?y?3xy3?xy?3x3y?py
h5hh3?3??3?2?h ?xy??y2(3x2? )?3x4?x?h4hh10h80
7.8图7.9所示的三角形悬壁梁只受重力作用，梁的密度为?，求应力分量。提示：设该
问题有代数多项式解，用量纲分析法确定应力函数的幂次。
O??gxy图7.9
式
?gf(x,y,?)
解：应力与外载荷(即体力?g)成比例，所以任意一个应力分量都可以表示成如下形
应力的量纲是[力][长度]，?g的量纲是[力][长度]，x和
－2
－3y的量纲是[长度]，?是无量纲的，所以若函数应是比
f(x,y,?)是多项式，则必是一个x和y的齐一次表达式。应力
f高两次的多项式，故有
???g(Ax3?Bx2y?Cxy2?Dy3) 应力分量的表达式为
28
???2?x?y2??g(2Cx?6Dy)
?2 ??y??x2??gy??g(6Ax?2By?y)
??2?xy???x?y??2?g(Bx?Cy) 在
y?0的边界上，有
(?y)y?0?6?gAx?0，(?xy)y?0??2?gBx?0 由上面两式得 A?B?0 在斜面上，有
y?xtg?，n1??sin?，n2?cos?，n3?0 斜面上的边界条件为
?2ini??21n1??22n2??gy(2Csin??cos?)?0 ?1ini??11n1??12n2??2?gx(2C?3Dtg?)sin??0 由此得
2Csin??cos??0，2C?3Dtg??0 故 C?1ctg?，D??1ctg223?。 把求出的常数代回应力分量的表达式，得 ?x??g(xctg??2yctg2?)， ?y???gy， ?xy???gyctg?。
第八章
8.1对平面应变问题，试证明极坐标形式的应变协调方程为 2 (?2?1?21?r2?r?r)???(r2??2??r?r)?r?(1?r2???1?2r?r??)?r? 证：在极坐标系中，有
??e?r?r?e1??r?? ε??rer?er??r?er?e????re??er???e??e?
29
所以
??ε?(???r1??r2??11??r?1???r?)ez?er?(???r???)e?e ?rr??r?rrr??r?z?协调方程是
??ε??1?1?21?1?2?22??[2(2?)??r?(?22)?r?(2?)?]e?e?0
r??r???rr?rr???rr?r?zz即
1?1?21?1?2?22?2(2?)??(?)??(?)??0 r??r???r?rr?rr2??2r?r2r?r?或
(?22?1?21?1?1?2?)??(?)??(?)?。证毕。 ?r2r?r?r2??2r?rrr2??r?r??r?
8.3在内半径为a、外半径为b的圆筒外面套以内半径为b的刚性圆筒，内筒的内壁受压
力p作用，如图8.17所示，求应力分量和位移分量。注：按平面应力问题求解。 解：这是一个整环的轴对称问题，应力分量可以表示成如下
形式 ?r?AA?2C，????2?2C，?r??0 2rr 若不计刚体位移，则位移分量的表达式为 urab1A?[?(1??)?2(1??)Cr]，u??0 Er??q
图8.17 边界条件为 (?r)r?a (ur)r?b?0
将?r和ur的表达式代入上面两个条件，可以求得
1??q2?(1??)qb A?，2C? 1??1??1??1???2?2b2ab2a? 将求出的常数代入应力和位移的表达式，得
1??1??1???22rbq，??r2 ?r???1??1??1???b2a2b2?1??b2q，??0
r?1???2a30
1r?21??rb)q ur?(E1??1???2b2a2
8.4设有一块内半径为a、外半径为b的薄圆环板，内壁固定、外壁受均布剪力q作用，如图8.18所示，求应力和位移。
解：由对称性可知，极坐标系中的应力分量和?无关。 平衡方程(8.8)中的第二式简化成
d?r?2?r???0 drrA 解之得?r??2
r
由边界条件得
A?q 即 A?b2q 2bb2 所以?r??2q。
r (?r?)r?b? 平衡方程(8.8)中的第一式和应力协调方程简化成
图8.18d?r?r?????0，?2(?r???)?0 drr 这是齐次方程组，有特解?r????0，这一特解满足边界条件(?r)r?b?0。所以应
力分量的解是
b2 ?r?0，???0，?r??2q。
r 利用胡克定律，得
2(1??)qb2 ?r?0，???0，?r??
Er2 由于对称性，位移分量ur和u?也和?无关，所以几何关系简化成 duu2(1??)qb2duru ?0，???r?0，?r??????drrdrrEr2 上面前两式的解是ur?0，第三式的通解是
?r? u?(1??)qb2 ?Br?Er 由边界条件(u?)r?a?0可以确定常数B?(1??)qb2，所以位移分量的解是
Ea231
(1??)q2r1b(2?)。 Ear 解法二：根据对称性，可知ur、u?和?无关。利用胡克定律和几何关系，可得
ur?0，u?? ?rurEEdur(????)?(??)，?1??2r1??2drrudu???E2(?????r)?E2(r??r)，
1??1??rdrduu?r??E?r??E(???)。
2(1??)2(1??)drr? 把上述表达式代入平衡方程，得
d2u?1du?u?d2ur1durur ???0，2???0
dr2rdrr2drrdrr2 由此解得
AC?Br，u???Dr rr 利用边界条件可以确定常数A、B、C、D。
ur
8.5图8.19表示一尖劈，其一侧面受均布压力q作用，求应力分量?r、??和?r?。提示：
用量纲分析法确定应力函数的形式。
? 解：任意一个应力分量都可以表示成qf1(r,?,?)，应力和q有
Of1应是无量纲的。根据应力和应力函数之间
的关系可知，应力函数应该是r的两次表达式，即 ??r2f(?)
相同的量纲，所以
将上式代入双调和方程，得
y?qd4f(?)d2f(?) ?4?0
d?4d?2 解出上式的解后，可得应力函数
x图8.19??r2(Acos2??Bsin2??C??D)
应力分量为
?r??2Acos2??2Bsin2??2C??2D
???2Acos2??2Bsin2??2C??2D ?r??2Asin2??2Bcos2??C
边界条件为 32
(??)??0??q，(??)????0，(?r?)??0?0，(?r?)????0
把应力分量的表达式代入上面的四个条件，可以求出常数 最后的应力分量为
A、B、C和D。
?r??q?????q?tg?(1?cos2?)?(2??sin2?)q
2(tg???)tg?(1?cos2?)?(2??sin2?)q
2(tg???)?r??(1?cos2?)?tg?sin2?q
2(tg???)
8.6图8.20所示的是受纯剪的薄板。如果离板边较远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最
小正应力。
y 解：无孔时板中的应力分量为 q ?x??y?0，?xy?q ?r 在极坐标系中的应力分量为
q?qsin2?，????qsin2?，?r??qcos2?
q 假定小圆孔的半径为a。由于孔的半径很小，且远离板边，
所以孔的存在只会引起孔附近应力场的变化，因此这一问
题的边值问题可以写成
x??2?2??0,? ?(?r)r?a?(?r?)r?a?0,
?lim??qsin2?, lim??qcos2?r??r??rr?? 将上式代入双调和方程，可以得到
q图8.20 根据边界条件和应力与应力函数之间的关系，设应力函数有如下形式
??f(r)sin2? (a)
d4f2d3f9d2f9df ????0
dr4rdr3r2dr2r3dr 把上式的解代入式(a)，得 ??(Ar2?Br4?Cr?2?D)sin2? 所以有 ?r ?? ?r???(2A?6Cr?4?4Dr?2)sin2? ?(2A?12Br2?6Cr?4)sin2?
??(2A?6Br2?6Cr?4?2Dr?2)cos2?
把上述应力分量的表达式代入边值问题中的边界条件，可以求得
33
qa4q A??，B?0，C??，D?a2q
22 将求出的常数代入应力分量的表达式，得
3a42a2?2)qsin2? r4r3a4 ????(1?4)qsin2?
r3a42a2 ?r??(1?4?2)qcos2?
rr ?r?(1? 在孔边上，有 ????4qsin2?，?r??r??0
因此最大正应力是4q，最小正应力是?4q。
解法二：将直角坐标系转动45?，得一新的坐标系Ox?y?。无孔时，在新的坐标系中
有?x??q，?y???q，?x?y??0。这一问题可以看成是x?方向受拉问题和y?方向受压问题的叠加，所以可以利用书中§8.7的结果和叠加原理求解。在孔边上，有 ?r ????r??0，
?q(1?2cos2?)?q[1?2cos2(???/2)]??4qcos2?。
8.7楔形体在侧面上受有均布剪力q，如图8.21所示，求应力分量。提示：用量纲分析法
确定应力函数的形式，或假定?r?和r无关。 解：用完全和题8.4中的分析方法相同的方法，可得 ?r
??2Acos2??2Bsin2??2C??2D yqO??22???2Acos2??2Bsin2??2C??2D ?r??2Asin2??2Bcos2??C
边界条件为 (??)???2q?0，(??)????0，(?r?)???q，(?r?)?????q
???222 将应力分量的表达式代入上面的条件，可以求出
x图8.21qq A?，B?0，C?0，D??ctg?
2sin?2 所以，有 ?r
??q(cos2?cos2?sin2?。 ?ctg?)，???q(?ctg?)，?r??qsin?sin?sin?8.8在弹性半平面的表面上受n个法向集中力Pi构成的力系作用，这些力到原点的距离为34
yi，如图8.22所示，求应力分量。
解：利用§8.10中的式(8.32)和叠加原理，即可
得到本题的应力分量
Pi2x ?x??， 222??[x?(y?y)]ii?13nyPnPiyiynP1y1O ?y ?xy
????2xPi(y?yi)， 222??[x?(y?y)]ii?1Pi(y?yi) 222??[x?(y?y)]ii?1nn2x图8.222x2第九章
9.1设?和?分别是扭转函数和Prandtl应力函数，试说明方程?2?表示的物理意义。 解:方程?2?协调方程。
9.2求图9.11所示等边三角形截面杆扭转问题的应力分量、最大剪应力和抗扭刚度GD。
提示：设应力函数为??B(x?a)(x? x?a?0，x? ??B(x?a)(x?方程?2???2是用应力函数表示的?0是用扭转函数表示的平衡方程；
?0和?2???2所
3y)(x?3y)?B(x?a)(x2?3y2)。
解：在图9.11中所取的坐标系中，三角形的三条边的直线方程是
3y?0，x?3y?0
y 所以猜测Prandtl应力函数为
aa33y)(x?3y)
?B(x?a)(x2?3y2)
上式满足在截面边界上为零的条件。应力函数还应该满足方程?2Ox???2，将?的表达式代入，可以求得
图9.11a31，所以 2a???1(x?a)(x2?3y2)
2aa4M153MD?2??dA?，?? ?4GDaG153AB??35
?zx??G??3?G453M?(x?a)y?(x?a)y， ?yaa5?zy???G???G153M?(3x2?3y2?2ax)?(3x2?3y2?2ax) 5?x2a2a最大剪应力出现在截面的边界上。由于对称性，出现在每条边上的最大剪应力应该相
等，所以只要求x?a?0这条边上的最大剪应力就可以了，在这条边上，有
M2?zx?0，?zy?153(a?3y2) 52a因此最大剪应力为
M?max?15332a。
9.3半径为a的圆截面扭杆有半径为b的圆弧槽，且b?a，如图9.12所示。求应力分量、
最大剪应力以及抗扭刚度。提示：两条圆弧的方程是r2?b2?0和r?2acos??0。
B22(r?b)(r?2acos?)。 r 解：两条圆弧的方程是f1?r2?b2?0和
设应力函数为??yrf2?r?2acos??0，所以猜测应力函数为
?abB ??(r2?b2)(r?2acos?) AOr 上式在截面边界上为零。将上式代入方程?2???2，
可知B应取?1/2，因此
1222ab2图9.12 ??(b?r?2arcos??cos?)
2r 用A*表示整个大圆的区域，则A*和A的面积差小于?b2/2。
2acos?)dA D?2??dA??(2arcos??r2)dA?b2?(1?rAAA ?A*x?(2arcos??r2)dA?O(b)??a4?O(b)2
应力分量为
1??b2???Ga(1?2)sin? r??r??b2 ?z????G??G[r?a(1?2)cos?]
?rr ?zr??G 在小圆上，有 36
?zr?0，?z???G(b?2acos?)； (1)
在大圆上，有
b2b2 ?zr???Ga(1?2)sin?，?z???Ga(1?2)cos? (2)
rr 由(1)和(2)式可知，最大剪应力发生在小圆的??0处，其绝对值为 ?max??G(2a?b)?2?Ga。
9.4已知截面边界为椭圆
2y2x 2?2?1 ab?a3b3G的杆，扭转刚度为GD?，求上述边界与椭圆
a2?b2x2y21 (?2?1)
??a2b2?2所围成的空心截面杆的扭转刚度。
解：大椭圆所围区域用A0表示，小椭圆所围区域用A截面用1，在A0中定义函数
A表示，A?A0?A1。
a2b2x2y2 (1) ??22(1?2?2)a?bab容易验证上式满足方程?2???2，也满足条件??0和
c022b1?c?a(1?)?K1?常数
a2?b2?21又
?2A???,??dA???,?n?ds??Ac??????ds??ds??ds ?n?n?nccc01???,??dA??c0c1????ds??2A0??ds ?n?nc1即
????nds?2(A0?A)?2A1 c1所以式(1)定义的函数是本问题的应力函数。因为在c1上，??K1?0，所以根据已知条件，有
D?2K1A1?2??dA?2K1A1?2??dA?2??dA
AA0A137
?a3b3?(a/?)3(b/?)31?a3b3 ?2??dA?2?(??K1)dA?2??(1?4)22222a?b(a/?)?(b/?)?a?bAA01。
解法二：横截面为大椭圆的实心杆扭转时，因为小椭圆是应力函数的等值线，所以与
小椭圆对应的材料和外部材料之间没有相互作用力，这相当于两根独立的杆件在一起扭转，因此有
?a3b3?(a/?)3(b/?)31?a3b3D?D0?D1?22??(1?4)22。
a?b(a/?)2?(b/?)2?a?b9.5一闭口薄壁杆具有图9.13所示的横截面，壁厚?是常数。试证明：杆扭转时中间腹壁
上无剪应力；并导出用扭矩M表示的远离角点处的应力公式和单位长度的扭转角。
c0?c1c2aaa图9.13
解：应力函数?在外边界上的值为零，在左内边界上c1的值为K1，在右内边界上c2的值为K2。由于壁很薄，由书中的式(9.17)可以近似地得到
K1?K2?3a??3a?K1?K2?K2?K1a?2a2， a?2a2。
??2a? 3 解上面的方程组，得 K1?K2? 对本问题的薄壁杆，近似地有 D?2K1A1?2K2A2? 所以??83?a 3M3M ?GD8?a3G 左右薄壁上的剪应力为 ?1??GK1K2K?K22 ??aG，?2??G2??aG中间腹壁上的?3??G1?0。
?3?3?38