25．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，点P是边AD上一点，连接CP，将四边形ABCP沿CP所在直线翻折，落在四边形EFCP的位置，点A、B的对应点分别为点E，F，边CF与边AD的交点为点G． （1）当AP=2时，求PG的值；

（2）如果AP=x，FG=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）连结BP并延长与线段CF交于点M，当△PGM是以MG为腰的等腰三角形时，求AP的长．

【考点】四边形综合题． 【分析】（1）设PG=a，则在RT△DGC中，CG=a，DG=3﹣a，CD=2，利用勾股定理即可解决问题．

（2）在RT△DGC中，CD2+DG2=CG2，得到（y﹣x）2+22=（5﹣y）2，由此即可解决问题．

①MG=MP，（3）如图1中，分两种情形讨论即可，只要证明△APB≌△DGC，得到AP=DG，

列出方程即可，②MG=PG，只要证明△ABP，△DPC，△BPC均为直角三角形，根据AP2+AB2+DP2+CD2=BC2，列出方程即可． 【解答】（1）由题意得：四边形ABCP与四边形EFCP全等． ∴∠BCP=∠FCP．

∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，

∴∠BCP=∠DPC， ∴∠DCP=∠FCP， ∴PG=CG， 设PG=a，

则在RT△DGC中，CG=a，DG=3﹣a，CD=2，且CD2+DG2=CG2， ∴22+（3﹣a）2=a2，解得：a=即PG=

．

，

（2）由题意得：CF=BC=5， ∴CG=5﹣y， ∴PG=5﹣y，

∴DG=5﹣（5﹣y）﹣x=y﹣x，

∵在RT△DGC中，CD2+DG2=CG2， ∴（y﹣x）2+22=（5﹣y）2， ∴y=

，

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∴y关于x的函数解析式为：y=，（0≤x≤3）

（3）∵△PGM是以MG为腰的等腰三角形，

∴MG=MP或MG=PG，如图1中， ①当MG=MP时， ∵∠MPG=∠MGC，

∵∠APB=∠MPG，∠MGP=∠DGC， ∴∠APB=∠DGC， 在△APB和△DGC中，

，

∴△APB≌△DGC， ∴AP=DG， ∴y=2x， ∴

=2x，化简整理得：3x2﹣20x+21=0，解得：x=

，

∵x=∴x=

＞3不符合题意舍去， ．

②当MG=PG时， ∵∠MPG=∠PMG， ∵∠MPG=∠MBC， ∴∠MBC=∠PMC， ∴CM=CB，（即点M与点F重合）． 又∵∠BCP=∠MCP， ∴CP⊥BP，

∴△ABP，△DPC，△BPC均为直角三角形．

∴AP2+AB2+DP2+CD2=BC2，即x2+22+（5﹣x）2+22=52， 化简整理得：x2﹣5x+4=0，解得：x=1或4． ∵x=4＞3不符合题意舍弃， ∴x=1．

综上所述：当△PGM是以MG腰的等腰三角形时，AP=

或1．

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2016年9月25日

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