x2＝－

53－. 22

(3)去括号，整理得x2＋4x－1＝0， 移项得x2＋4x＝1， 配方得(x＋2)2＝5，

x＋2＝±5，即x1＝5－2，x2＝－5－2.

点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 m，CB＝6 m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？

解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．根据题意可列方程： 111

(8－x)(6－x)＝××8×6， 222即x2－14x＋24＝0， (x－7)2＝25， x－7＝±5， ∴x1＝12，x2＝2，

x1＝12，x2＝2都是原方程的根，但x1＝12不合题意，舍去． 答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．

点拨精讲：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知条件列出等式．

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．用配方法解下列关于x的方程：

(1)2x2－4x－8＝0； (2)x2－4x＋2＝0；

1

(3)x2－x－1＝0 ; (4)2x2＋2＝5.

2

解：(1)x1＝1＋5，x2＝1－5； (2)x1＝2＋2，x2＝2－2； 117117(3)x1＝＋，x2＝－；

4444(4)x1＝

66，x2＝－. 22

2．如果x2－4x＋y2＋6y＋z＋2＋13＝0，求(xy)z的值．

解：由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋z＋2＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋z＋2＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.

∴(xy)z＝[2×(－3)]2＝

－

1

. 36

学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

1．用配方法解一元二次方程的步骤． 2．用配方法解一元二次方程的注意事项．

学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

21．2.2 公式法

1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念． 2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．

重点：求根公式的推导和公式法的应用． 难点：一元二次方程求根公式的推导．

(2分钟)

用配方法解方程：

(1)x2＋3x＋2＝0； (2)2x2－3x＋5＝0. 解：(1)x1＝－2，x2＝－1； (2)无解．

一、自学指导．(8分钟)

问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？

－b＋b2－4ac

问题：已知ax＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x1＝，x2＝

2a

2

－b－b2－4ac

. 2a

分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．

探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，－b±b2－4ac

将a，b，c代入式子x＝就得到方程的根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数

2a根．

－b±b2－4ac(2)x＝叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．

2a(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．

(5)一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac.

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？ (1)2x2－3x＝0； (2)3x2－23x＋1＝0； (3)4x2＋x＋1＝0.

3

解：(1)x1＝0，x2＝；有两个不相等的实数根；

2 (2)x1＝x2＝

3

；有两个相等的实数根； 3

(3)无实数根．

点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分

钟)

1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( B ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根

2．当m为何值时，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？

111

解：(1)m＜； (2)m＝； (3)m ＞.

444

3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根. 证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根， ∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.

对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1＝0， Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0， ∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．利用判别式判定下列方程的根的情况： 3

(1)2x2－3x－＝0; (2)16x2－24x＋9＝0；

2(3)x2－42x＋9＝0 ; (4)3x2＋10x＝2x2＋8x. 解：(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)无实数根；

(4)有两个不相等的实数根． 2．用公式法解下列方程：

1

(1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－2x－＝0；

4(3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x； (5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋25x＋10＝0.