依图示，节假日的10:00~11:00 时间段顾客到达达到了第一个峰值；在12:00~13:00 时段 顾客到达最少，此时正是午休时刻，客流量较小；在15:00~16:00时间段为最高峰，此时为顾客购物高峰时期。 3.2.3 顾客服务时间研究

我们在JX超市随机观察了100组收银台顾客服务时间的数据来调查JX超市顾客服务时间分布的概率，调查数据如表3-4所示：

表3-4 收银台顾客服务时间

服务时间

0 ~

15 ~ 30 20

30 ~ 45 26

45 ~ 60 14

60 ~ 75 7

75 ~ 90 7

90 ~ 105 6

105 ~ 120 10

0 120以 上

（S） 15 频数

10

通过原始数据我们计算出收银台顾客平均服务时间：t=50.7s

上述图表测得的为平均服务时间的实际数据，假定理论顾客服务时间T服从负指数分布，下面我们将用极大拟然数法估计理论未知参数μ， ? ? u

1

? 0.01972 t

人 / 秒 ? 70.99

人 / 小时

3.2.4 超市收银系统排队模型

JX超市收银系统作为交易终端，业务形式比较单一。根据观察，顾客到达

收银服务系统可以分为三种类型：①收银台空闲，顾客到达后即可直接交易；②收银台正在进行服务，但等待较少，顾客到达后仍需等待，但等待时间较短，在顾客等待忍耐范围内，顾客会排在等待队伍对位直到交易完毕，在此种情况下大部分顾客都会接受排队等待；③服务台正在进行服务，新到达顾客需要等待，但等待队列较长，此时会有一部分顾客放弃已经选购的物品终止交易并暂时离去，影响到超市服务额。

JX超市收银系统中，顾客到达服从泊松分布，顾客接受服务服从负指数分布。假设服务台平均服务率相同并互不干涉，那么μ1=μ2=μ3=...=μn。

在JX超市收银排队模型中，N表示顾客人数，λ为顾客到达平均速度，μ

P0表示收银台平均服务速率，ρ为服务强度，n为收银台数，PN表示N个顾客的概

Lq率, 表示收银系统中任意时刻收银台空闲的概率， 指收银系统中排队等

待的服务队长。

???n??1?n?11?k11?n?P?()???()?0??k!?n!1????k?0?

(n?)n?Lq?P0n!(1??)23.2.5 指标计算

前面计算已知μ=70.99 ，根据 计算出各时段多个收银台的系统服务强度，如表3-5。

表3-5各时段系统服务强度

时间段

工作日系统服务强度

9:00~10:00 10:00~11:00 11:00~12:00

0.62 0.88 0.66

工作日收银台数

5 6 7

节假日系统服务强度

1.08 0.98 1.00

节假日收银台数

6 9 8

12:00~13:00 13:00~14:00 14:00~15:00 15:00~16:00 16:00~17:00 17:00~18:00 18:00~19:00 19:00~20:00 20:00~21:00

0.42 0.51 0.77 1.04 0.94 0.90 0.59 0.66 0.87

7 6 5 6 7 8 8 7 6

0.70 0.87 0.93 1.15 1.19 0.99 0.92 1.04 1.10

8 7 7 9 8 9 8 7 7

ρ表示多服务台排队系统的服务强度，则有当ρ< 1 排队系统不会形成无限队列，当ρ>1时，会形成无限队列，排队系统十分拥挤，需要优化。 3.2.5 JX超市各时段收银台数目优化

用户在排队系统中的平均等待时间为Wq，收银系统服务强度为ρ，以工作日9:00~10:00 为例进行讨论。实际数据中n =5，所以n>5的整数都能保证系统不拥挤，如果收银台数量太多，不会对系统产生太大的影响，如果收银台数量太少，则会增加顾客的等待，因此排队系统最优的实际体现就是确定最佳临界收银台的数量。从成本费用角度考虑，费用分为两种，一种是每位顾客在排队等待过程中单位时间内的费用损失，一种是在单位时间内服务台的服务费用。如果可以得到平均总费用的数学公式，就可以确定费用最小化的最优收银服务台数。考虑实际情况，系统服务强度不能超过100%，但是较低的服务强度会造成收银系统资源的浪费增加成本，顾客等待时间又不宜过长，所以我们取优化的标准服务强度为大于等于85%，顾客等待时间小于等于5分钟，如果服务强度不能满足85%的限额，那么选择最优的方案。通过第二章所叙述的公式可以计算出工作日9:00~10:00时段系统指标如表3-9.

表3-6 工作日9:00~10:00时段系统指标

台数 3 4 5

? 0.94 0.80 0.62

P0 0.0079 0.0201 0.0239

L q10.75 1.29 0.36

L s14.46 5.00 4.06

W q0.047 0.022 0.018

W s2.82 1.30 0.09

C?n,?? 10.85 0.45 0.21

6 0.53 0.0270 0.18 3.99 0.017 0.05 0.10

从表3-6可知，该时段最优收银台开放数为3，顾客的等待时间为2.82s，而服务台的服务强度为94%，顾客没有太长时间的等待，收银台也不会太空闲。

?下面我们在讨论 >1 的情况，以节假日16:00~17:00 时段为例，此时

服务强度为1.19>1，表明排队系统十分拥挤，令，则n>12 的状?? ?1态下才会改变拥挤状况，该时段的系统指标如表3-7.

表3-7节假日16:00~17:00时段系统指标

收银台数 12 13 14 15

?n?? 0.94 0.87 0.81 0.76

P0 ?66.98?10 ?51.10?10

L q9.39 2.95 1.26 0.71

L s20.50 15.10 13.44 12.80

W q0.82 0.26 0.11 0.06

W s1.80 1.23 1.08 0.62

C?n ,?1?0.73 0.50 0.32 0.24

1.29?10 ?5?51.62?10

根据上表，我们可以确定节假日16:00~17:00 的最优收银台开放数为12台，此

? =94 %，顾客等待为49.2s。根据上述优化方法我们将优化工作时的系统强度

日和节假日的收银台开放数。

表3-8工作日各时段收银台开放数优化情况

时段

实际开放 收银台数

9:00~10:00 10:00~11:00 11:00~12:00 12:00~13:00 13:00~14:00 14:00~15:00 15:00~16:00 16:00~17:00 17:00~18:00 18:00~19:00 19:00~20:00

5 6 7 7 6 5 6 7 8 8 7

优化后 收银台数

3 5 6 4 4 4 7 7 7 6 6

优化后收银 台服务强度 0.94 0.94 0.88 0.81 0.85 0.91 0.92 0.90 0.89 0.82 0.95

优化后顾 客等待时间（m）

0.05 1.99 0.94 0.74 1.12 1.57 1.10 0.79 0.51 0.50 2.36