服务设施的排列方式分为多站服务系统的串联与并联。对S个服务站的并联系统，一次可以同时服务S个顾客，对S个服务站的串联系统，每个顾客要依次经过S个服务站，就像一个零件经过S道工序加工一样。

服务设施的服务方式分为单个服务和成批服务。例如：公交汽车一次就装载大批乘客。

2.1.3 排队系统的基本概念及符号表示

下面介绍排队服务系统所涉及的基本概念。

系统状态：是指一个排队服务系统中的顾客数（包括正在接受服务的顾客）。 队长：指系统中等待服务的顾客数，它等于系统状态减去正在被服务的顾客数。

瞬时状态：是指排队系统在某一时刻的顾客数，系统在时刻t的瞬时状态用N(t)表示。

瞬时状态概率：是指排队服务系统在时刻t恰好有n个顾客的概率，用Pn(t)表示。

平均到达率：是指当系统中有n个顾客时，新来的顾客的平均到达率（即单位时间内的新顾客的到达数）,用λｎ表示。当对所有的ｎ，λｎ是常数时，可用λ代替 λｎ。

平均服务率：当系统中有ｎ个顾客时，整个系统的平均服务率（即单位时间内服务完毕离去的平均顾客数），用符号μｎ表示。当ｎ≥１，μｎ是常数时，可用μ代替μｎ。

稳定状态：当一个排队服务系统开始运转时，系统状态很大程度上取决于系统的初始状态和运转经历的时间。但过一段时间后，系统的状态将独立于初始状态及经历的时间，这时称系统处于稳定状态。由于对系统的瞬时状态研究分析起来很困难，所以排队论中主要研究系统处于稳定状态的工作情况。由于稳定状态时工作状态与时刻ｔ无关，这时Ｐｎ（ｔ）可写成Ｐｎ，Ｎ（ｔ）可写成Ｎ。

另外，用Ｓ表示排队服务系统中并联的服务台个数。

根据不同的输入过程、排队规则和服务台数量，可以形成不同的排队模型，为方便对模型的描述，通常采用如下的符号形式：X/Y/Z/A/B/C。

这种符号由D.G.Kendall提出的，故称为Kendall符号。其中各符号的意义

如下：

X为顾客相继到达间隔时间分布 Y为服务时间分布 Z为服务台个数

A为系统容量限制，即系统中允许的最多顾客数 B为顾客源的总体数目 C为服务规则；

表示相继到达时间间隔和服务时间的各种分布符号有： M表示到达过程为泊松分布或负指数分布 D表示定长分布

Ek表示k阶段爱尔朗分布 G表示一般相互独立的随机分布；

比如M/M/c/N/m/FCFS则为相继到达时间间隔与服务时间为度指数分布，c个服务台，系统容量为N，顾客源数目为m，先到先服务模型。 2.1.4排队系统的常用分布

在排队系统中，顾客相继到达时间间隔与服务的时间分布主要有负指数分布、泊松分布、爱尔朗分布、定长分布等。

1.指数分布

随机变量X服从负指数分布，它的分布密度函数为

负指数分布有一个重要性质即无后效性或称马尔可夫性。无后效性说明一个顾客到来所需的时间与过去一个顾客到来所需的时间无关，由概率知识易知，当单位时间内顾客到达数服从以λ为平均数的泊松分布时，顾客到达的时间间隔ｔ就服从相互独立的参数λ的负指数分布，即二者是等价的。同时，服务台对顾客服务的时间有时也服从负指数分布。

2.泊松分布

若随机变量X概率分布为 ，则称X服从λ的泊松分布。

泊松过程是应用最为广泛的一类随机过程，它用来描述排队系统中顾客到达的过程，城市中的交通事故，保险公司的理赔次数等都服从泊松过程。泊松过程的构造更复杂的随机过程的基本构建，是一个非常重要的随机过程。

3.爱尔朗分布

设K个服务台串联，顾客接受服务分为K个阶段，顾客在完成全部服务内容并离开后，下一个顾客才能开始接受任务。顾客每个阶段的服务时间T1，T2，? ,Tk 是相互独立的随机变量，服从相同参数的Kμ负指数分布，即

2.1.5多服务台排队模型

。

多服务台排队模型可用 M / M / n / ∞ /∞ 表示，其中假定系统有n相互独立的服务窗口，顾客到达过程服从参数为λ 的泊松分布，顾客的服务时间服从参数为μ 的负指数分布。顾客的到达时间和服务时间是相互独立的。如果顾客到达时，服务窗口全部处于繁忙的状态，则进行等待。

在多服务窗口等待制排队模型中，我们有如下的定理：

若 X (t)表示时刻t系统中的顾客数（队长），则{ X (t), t ≥ 0}是状态空间 E ={0,1,2, ..}且，

生率为：λk=λ，k=0,1,2,...... 灭率为：μk=kμ k=1,2,....... μk=nμ k=n+1..... 的生灭过程。

并且通过数学推导可以用以下公式计算相应参数：

P等（顾客排队等待率）=

L p （平均等待队长） =

L i （顾客平均损失） =

2.2 排队问题的仿真

2.2.1 离散事件系统仿真

系统仿真是针对真实系统建立模型，然后在模型上进行试验，用模型替代真实系统，从而研究系统性能的方法。根据研究系统的不同，系统仿真可分为连续系统仿真和离散系统仿真。离散事件系统指系统的状态在一些离散时间点上由于某种事件的驱动而发生变化，实体包括永久实体和临时实体。一般步骤为调研系统、建立系统模型、确定仿真算法、建立 仿真模型、运行仿真模型、仿真结果分析、仿真结果输出、修改系统参数、系统方案比较、确定系统方案和仿真结束。 2.2.2 FLEXSIM 软件介绍

FLEXSIM是一款离散事件仿真软件程序。这意味着它被用来对这样一类系统建模，这类系统根据特定事件发生的结果在离散时间点改变系统状态，一般而言，系统状态可分为空闲、繁忙、阻塞或停机等，事件则有用户订单到达、产品移动、机器停机等。离散仿真模型中被加工的实体通常是物理产品，但也可能是用户、文书工作、绘图、任务、电话、电子信息等等。这些实体需要经过一系列的加工、等待和运输步骤，即所谓的工艺流。加工过程中每一步都有可能需要占用一个或多个资源，例如机器、输送机、操作员、车辆或某种工具。这些资源有些是固定的，有些是可移动的。一些资源是专门用于特定任务的，另一些则可以用于多个任务。

2.2.3 FLEXSIM 软件可以解决的问题

使用FLEXSIM可解决的三个基本问题：

服务问题：要求以最高满意度和最低可能成本来处理用户及其要求； 制造问题：要求以最低可能成本在适当时间制造适当产品；

物流问题：要求以最低可能成本在适当的时间，适当的地点，获得适当的产品。

在实际应用中FLEXSIM软件已经帮助解决了诸如减少等待时间和队列长度，利用系统总行为和相关绩效训练操作人员，管理日常运作决策等问题。Flexsim