小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）

目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨

一、等积模型

AB①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； SS两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

abCD如右图S1:S2?a:b

12③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACD?S△BCD； 反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DAADEE

图⑴ 图⑵

三、蝶形定理

任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：

①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3? 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

BCBCDAS2BS1OS3CS4D梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：

S2S4①S1:S3?a2:b2 O②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； S32③S的对应份数为?a?b?． Bb四、相似模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

AaS1CAEAFDDBABACFGBCAGEC

BGC

①AD?AE?DE?AF；

②S△ADE：S△ABC?AF2:AG2．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．

在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么AS?ABO:S?ACO?BD:DC．

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因EF为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称

O为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，

CD它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为B三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

补充：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。塞瓦定理记忆法：三顶点选一个作为起点，定一方向，绕一圈，三组比例相乘为1。

典型例题

【例 1】 如图，正方形

ABCD的边长为6，AE?1.5，CF?2．长方形EFGH的面

积为 ．

_H _D_H _D_A_E

_G

_A

_E

_G

_B

_F

_C

_B

_F

_C

【解析】 连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．

三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

S△DEF?6?6?1.5?6?2?2?6?2?4.5?4?2?16.5,所以长方形EFGH面积为33．

【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘

米，那么长方形的宽为几厘米？

_ E_ A_ F

_ D

_ G

_ C _ B

_ F

_ D

_ C

_ A_ E_ B

_ G

【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方

形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接AG．(我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一

起)．

∵在正方形ABCD中，S△ABG??AB?AB边上的高， ∴S△ABG?S的一半)

同理，S△ABG?SEFGB．

?8?81212ABCD(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积

12∴正方形ABCD与长方形

)． ?10?(6厘米.面EFGB积相等． 长方形的宽

【例 2】 长方形ABCD的面积为

A36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任

意一点，问阴影部分面积是多少？

HDEGBFC

【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：

HDAEGBFC 可得：S?EHB?S?AHB、S?FHB?S?CHB、S?DHG?S?DHC，而

SABCD?S?AHB?S?CHB?S?CHD?36

1212

12 即S?EHB?S?BHF?S?DHG?(S?AHB?S?CHB?S?CHD)??36?18； 而

S?EHB?S?BHF?S?DHG?S阴影?S?EBF1212，

11111S?EBF??BE?BF??(?AB)?(?BC)??36?4.5．

22228 所以阴影部分的面积是：S阴影?18?S?EBF?18?4.5?13.5

解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，

那么图形就可变成右图：

AD(H)EG

这样阴影部分的面积就是?DEF的面积，根据鸟头定理，则有：

FCB1111111S阴影?SABCD?S?AED?S?BEF?S?CFD?36???36????36???36?13.5．

2222222

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边

二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．