例14．已知函数y?f(x)是定义在R上的周期函数，周期T?5，函数

y?f(x)(?1?x?1)是奇函数，又知y?f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x?2时函数取得最小值?5。

①证明：f(1)?f(4)?0； ②求y?f(x),x?[1,4]的解析式； ③求y?f(x)在[4,9]上的解析式。 解：∵f(x)是以5为周期的周期函数， ∴f(4)?f(4?5)?f(?1)， 又∵y?f(x)(?1?x?1)是奇函数， ∴f(1)??f(?1)??f(4)， ∴f(1)?f(4)?0。

②当x?[1,4]时，由题意可设f(x)?a(x?2)2?5 (a?0)， 由f(1)?f(4)?0得a(1?2)2?5?a(4?2)2?5?0， ∴a?2，

∴f(x)?2(x?2)?5(1?x?4)。 y?fx()(1??x?)1③∵是奇函数，

∴f(0)?0，

又知y?f(x)在[0,1]上是一次函数，

2∴可设f(x)?kx(0?x?1)，而f(1)?2(1?2)?5??3， k??3，∴∴当0?x?1时，f(x)??3x，

2从而当?1?x?0时，f(x)??f(?x)??3x，故?1?x?1时，f(x)??3x。 ∴当4?x?6时，有?1?x?5?1，

∴f(x)?f(x?5)??3(x?5)??3x?15。 当6?x?9时，1?x?5?4，

∴f(x)?f(x?5)?2[(x?5)?2]?5?2(x?7)?5

22??3x?15,4?x?6∴f(x)??。 22(x?7)?5,6?x?9?点评：该题属于普通函数周期性应用的题目，周期性是函数的图像特征，要将其转化成

数字特征。 五．思维总结

1．判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(?x)= ?f(x)?f(?x) ?f(x)=0；

2．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称。这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立。函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映；

3．若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0，因此，“f(x)为奇函数”是\f(0)=0\的非充分非必要条件；

4．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。

5．若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立，则称T为函数f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期，周期函数的定义域一定是无限集。

6．单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一

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般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决。

指数函数及其性质学案

一、学习目标：

1.理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质. 2.培养学生实际应用函数的能力 二、学法指导：

1. 在正确理解理解指数函数的定义,会画出基本的 指数函数的图象,并且能够归纳出性质及其简单应用.

2. 指数函数的图象和性质的学习,能够学会观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.

3. 掌握函数研究的基本方法,激发自主学习的学习兴趣 三、知识要点

1．指数函数的定义：函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是

2.指数函数的图象和性质： y?ax(a?0且a?1)的图象和性质

图 象 a>1 0

引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，??. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？ 分裂次数：1，2，3，4，?，x 细胞个数：2，4，8，16，?，y 由上面的对应关系可知，函数关系是y?2.

引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为 y?0.85x

在y?2,y?0.85x中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.

我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.

xx 性 质 （二）新课讲解：

1．指数函数的定义：

函数y?a(a?0且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 探究1：为什么要规定a>0,且a?1呢？

①若a=0，则当x>0时，a=0；当x?0时，a无意义.

②若a<0，则对于x的某些数值，可使a无意义. 如(?2)，这时对于x=等等，在实数范围内函数值不存在.

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xxxxx11，x=，?42

③若a=1，则对于任何x?R，a=1，是一个常量，没有研究的必要性.

为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a?1在规定以后，对于任何x?R，a都有意义，且a>0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞). 探究2：函数y?2?3x是指数函数吗？

指数函数的解析式y=a中，a的系数是1.

有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=a+k (a>0且a?1，k?Z)；有些函数看

xxxxxx?1?起来不像指数函数，实际上却是，如y=a (a>0,且a?1)，因为它可以化为y=??，其中

?a?11>0，且?1 aa?xx2.指数函数的图象和性质：

?1??1?x在同一坐标系中分别作出函数y=2，y=??，y=10，y=??的图象.

?2??10?xxx列表如下： x ? -3 -2 -1 x? 0.13 0.25 0.5 y=2 x ? 8 ?y??12-0.5 0 0.71 1 1.4 1 0.5 1.4 1 2 2 4 3 8 ? ? 4 2 0.71 0.5 0.25 0.13 ?

x y=10 x? -1.5 ? 0.03 -1 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 1 0.1 0.32 0.56 1 1.78 3.16 10 1.5 ? 31.62 ? 1x? ? 31.62 10 3.16 1.78 1 0.56 0.32 0.1 0.03 ? y??10x10我们观察y=2，y??1，y=，y??2xx1x?10?的图象特征，就可以得到

y?ax(a?0且a?1)的图象和性质

图 象 a>1 650

（三）．例题分析：

例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）

分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求

解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y 经过1年，剩留量y=1384%=0.841; 经过2年，剩留量y=1384%=0.842; 1?? 一般地，经过x年，剩留量 3.532.52y=0.84 根据这个函数关系式可以列表如下： x0.51.510.50-0.51122334456 0.35 5x 0 1 2 3 4 5 y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 用描点法画出指数函数y=0.84x的图象从图上看出y=0.5只需x≈4. 答：约经过4年，剩留量是原来的一半

评述：指数函数图象的应用；数形结合思想的体现 例2 （课本第81页）比较下列各题中两个值的大小： ①1.7，1.7； ②0.8解：利用函数单调性 ①1.7②0.82.53x2.53?0.1，0.8?0.2； ③1.70.3，0.9x3.1

与1.7的底数是1.7，它们可以看成函数 y=1.7，当x=2.5和3时的函数值；因

2.5为1.7>1，所以函数y=1.7在R是增函数，而2.5<3，所以，1.7?0.1<1.7；

?0.13与0.8?0.2的底数是0.8，它们可以看成函数 y=0.8，当x=-0.1和-0.2时的函

xx数值；因为0<0.8<1，所以函数y=0.8在R是减函数，而-0.1>-0.2，所以，0.8③下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号：1.73.25<0.8?0.23.1；

<1；1.7>0.9

f?x? = 1.7x f?x? = 1.7x

f?x? = 0.8x f?x? = 0.9x

小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.

求下列函数的定义域、值域：

>1；0.932.84.50.33.10.32.642.43.52.2231.82.51.621.41.21.5110.80.50.60.4-2-11234560.2-0.5-2-1.5-1-0.50.511.522.5-0.2-0.43.21.831.62.82.61.42.42.221.211.81.60.81.41.20.610.40.80.60.40.20.2-1.5-1-0.50.51-0.50.511.522.533.54-0.2-0.2-0.436