高中数学新人教版必修一全套学案 下载本文

例14.已知函数y?f(x)是定义在R上的周期函数,周期T?5,函数

y?f(x)(?1?x?1)是奇函数,又知y?f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x?2时函数取得最小值?5。

①证明:f(1)?f(4)?0; ②求y?f(x),x?[1,4]的解析式; ③求y?f(x)在[4,9]上的解析式。 解:∵f(x)是以5为周期的周期函数, ∴f(4)?f(4?5)?f(?1), 又∵y?f(x)(?1?x?1)是奇函数, ∴f(1)??f(?1)??f(4), ∴f(1)?f(4)?0。

②当x?[1,4]时,由题意可设f(x)?a(x?2)2?5 (a?0), 由f(1)?f(4)?0得a(1?2)2?5?a(4?2)2?5?0, ∴a?2,

∴f(x)?2(x?2)?5(1?x?4)。 y?fx()(1??x?)1③∵是奇函数,

∴f(0)?0,

又知y?f(x)在[0,1]上是一次函数,

2∴可设f(x)?kx(0?x?1),而f(1)?2(1?2)?5??3, k??3,∴∴当0?x?1时,f(x)??3x,

2从而当?1?x?0时,f(x)??f(?x)??3x,故?1?x?1时,f(x)??3x。 ∴当4?x?6时,有?1?x?5?1,

∴f(x)?f(x?5)??3(x?5)??3x?15。 当6?x?9时,1?x?5?4,

∴f(x)?f(x?5)?2[(x?5)?2]?5?2(x?7)?5

22??3x?15,4?x?6∴f(x)??。 22(x?7)?5,6?x?9?点评:该题属于普通函数周期性应用的题目,周期性是函数的图像特征,要将其转化成

数字特征。 五.思维总结

1.判断函数的奇偶性,必须按照函数的奇偶性定义进行,为了便于判断,常应用定义的等价形式:f(?x)= ?f(x)?f(?x) ?f(x)=0;

2.对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上,要明确对定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义域关于原点对称。这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广,可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x,都有f(x+a)=f(a-x)成立。函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映;

3.若奇函数的定义域包含0,则f(0)=0,因此,“f(x)为奇函数”是\f(0)=0\的非充分非必要条件;

4.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。

5.若存在常数T,使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立,则称T为函数f(x)的周期,一般所说的周期是指函数的最小正周期,周期函数的定义域一定是无限集。

6.单调性是函数学习中非常重要的内容,应用十分广泛,由于新教材增加了“导数”的内容,所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高,因此解决具体函数的单调性问题,一

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般求导解决,而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意,关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析,严格的解答还是应该运用定义或求导解决。

指数函数及其性质学案

一、学习目标:

1.理解指数函数的概念,并能正确作出其图象,掌握指数函数的性质. 2.培养学生实际应用函数的能力 二、学法指导:

1. 在正确理解理解指数函数的定义,会画出基本的 指数函数的图象,并且能够归纳出性质及其简单应用.

2. 指数函数的图象和性质的学习,能够学会观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.

3. 掌握函数研究的基本方法,激发自主学习的学习兴趣 三、知识要点

1.指数函数的定义:函数 叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是

2.指数函数的图象和性质: y?ax(a?0且a?1)的图象和性质

图 象 a>1 0

引例1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,??. 1个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么? 分裂次数:1,2,3,4,?,x 细胞个数:2,4,8,16,?,y 由上面的对应关系可知,函数关系是y?2.

引例2:某种商品的价格从今年起每年降低15%,设原来的价格为1,x年后的价格为y,则y与x的函数关系式为 y?0.85x

在y?2,y?0.85x中指数x是自变量,底数是一个大于0且不等于1的常量.

我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.

xx 性 质 (二)新课讲解:

1.指数函数的定义:

函数y?a(a?0且a?1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R 探究1:为什么要规定a>0,且a?1呢?

①若a=0,则当x>0时,a=0;当x?0时,a无意义.

②若a<0,则对于x的某些数值,可使a无意义. 如(?2),这时对于x=等等,在实数范围内函数值不存在.

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xxxxx11,x=,?42

③若a=1,则对于任何x?R,a=1,是一个常量,没有研究的必要性.

为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a?1在规定以后,对于任何x?R,a都有意义,且a>0. 因此指数函数的定义域是R,值域是(0,+∞). 探究2:函数y?2?3x是指数函数吗?

指数函数的解析式y=a中,a的系数是1.

有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如y=a+k (a>0且a?1,k?Z);有些函数看

xxxxxx?1?起来不像指数函数,实际上却是,如y=a (a>0,且a?1),因为它可以化为y=??,其中

?a?11>0,且?1 aa?xx2.指数函数的图象和性质:

?1??1?x在同一坐标系中分别作出函数y=2,y=??,y=10,y=??的图象.

?2??10?xxx列表如下: x ? -3 -2 -1 x? 0.13 0.25 0.5 y=2 x ? 8 ?y??12-0.5 0 0.71 1 1.4 1 0.5 1.4 1 2 2 4 3 8 ? ? 4 2 0.71 0.5 0.25 0.13 ?

x y=10 x? -1.5 ? 0.03 -1 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 1 0.1 0.32 0.56 1 1.78 3.16 10 1.5 ? 31.62 ? 1x? ? 31.62 10 3.16 1.78 1 0.56 0.32 0.1 0.03 ? y??10x10我们观察y=2,y??1,y=,y??2xx1x?10?的图象特征,就可以得到

y?ax(a?0且a?1)的图象和性质

图 象 a>1 650

(三).例题分析:

例1某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩量留是原来的一半(结果保留1个有效数字)

分析:通过恰当假设,将剩留量y表示成经过年数x的函数,并可列表、描点、作图,进而求得所求

解:设这种物质量初的质量是1,经过x年,剩留量是y 经过1年,剩留量y=1384%=0.841; 经过2年,剩留量y=1384%=0.842; 1?? 一般地,经过x年,剩留量 3.532.52y=0.84 根据这个函数关系式可以列表如下: x0.51.510.50-0.51122334456 0.35 5x 0 1 2 3 4 5 y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 用描点法画出指数函数y=0.84x的图象从图上看出y=0.5只需x≈4. 答:约经过4年,剩留量是原来的一半

评述:指数函数图象的应用;数形结合思想的体现 例2 (课本第81页)比较下列各题中两个值的大小: ①1.7,1.7; ②0.8解:利用函数单调性 ①1.7②0.82.53x2.53?0.1,0.8?0.2; ③1.70.3,0.9x3.1

与1.7的底数是1.7,它们可以看成函数 y=1.7,当x=2.5和3时的函数值;因

2.5为1.7>1,所以函数y=1.7在R是增函数,而2.5<3,所以,1.7?0.1<1.7;

?0.13与0.8?0.2的底数是0.8,它们可以看成函数 y=0.8,当x=-0.1和-0.2时的函

xx数值;因为0<0.8<1,所以函数y=0.8在R是减函数,而-0.1>-0.2,所以,0.8③下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号:1.73.25<0.8?0.23.1;

<1;1.7>0.9

f?x? = 1.7x f?x? = 1.7x

f?x? = 0.8x f?x? = 0.9x

小结:对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性,必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值;对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.

求下列函数的定义域、值域:

>1;0.932.84.50.33.10.32.642.43.52.2231.82.51.621.41.21.5110.80.50.60.4-2-11234560.2-0.5-2-1.5-1-0.50.511.522.5-0.2-0.43.21.831.62.82.61.42.42.221.211.81.60.81.41.20.610.40.80.60.40.20.2-1.5-1-0.50.51-0.50.511.522.533.54-0.2-0.2-0.436