法一 设x1，x2是任意两个正数，且0
则f(x1)－f(x2)＝?x1＋x?－?x2＋x?＝xx(x1x2－a)．
?1??2?12当0
a
综上可知，函数f(x)＝x＋x(a>0)在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上为增函数． aa
法二 f′(x)＝1－x2，令f′(x)>0，则1－x2>0， 解得x>a或x<－a(舍)．
a
令f′(x)<0，则1－x2<0，解得－a
∴f(x)在(0，a]上为减函数，在[a，＋∞)上为增函数． 考点二 确定函数的最值
【例2】 (1)(2017·南京、盐城一模)已知函数f(x)＝＝________，函数f(x)的最大值是________． x2＋2x＋a(2)已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)且a≤1.
x1
①当a＝2时，求函数f(x)的最小值；
②若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
则f(f(3))
(1)解析 ①由于f(x)＝所以f(3)＝
3＝－1，则f(f(3))＝f(－1)＝－3，
②当x>1时，f(x)＝x是减函数，得f(x)<0.
当x≤1时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上单调递增，则f(x)≤1，综上可知，f(x)的最大值为1. 答案 －3 1
11
(2)解 ①当a＝2时，f(x)＝x＋2x＋2，设1≤x1＜x2， 1??
则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)?1－2xx?，
?12?∵1≤x1＜x2，∴x2－x1＞0,2x1x2＞2， 111
∴0＜2xx＜2，1－2xx＞0，
1212∴f(x2)－f(x1)＞0，f(x1)＜f(x2)． ∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数， 7
∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝2. x2＋2x＋a
②当x∈[1，＋∞)时，>0恒成立．
x则x2＋2x＋a>0对x∈[1，＋∞)上恒成立． 即a>－(x2＋2x)在x∈[1，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1，x∈[1，＋∞)， ∴g(x)在[1，＋∞)上是减函数，g(x)max＝g(1)＝－3. 又a≤1，
∴当－3
规律方法 (1)求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法．
(2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
1
【训练2】 如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥2时，f(x)
＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为________． 1
解析 根据f(1＋x)＝f(－x)，可知函数f(x)的图象关于直线x＝2对称．又函数f(x)1??1??
在?2，＋∞?上单调递增，故f(x)在?－∞，2?上单调递减，则函数f(x)在[－2,0]上????的最大值与最小值之和为f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)＝log28＋log22＝4. 答案 4
考点三 函数单调性的应用(典例迁移)
??2－a?x＋1，x<1，【例3】 (1)如果函数f(x)＝?x满足对任意x1≠x2，都有
?a，x≥1f?x1?－f?x2?
>0成立，那么a的取值范围是________．
x1－x2
?1?
(2)(2017·南通中学模拟)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f?2?＝
??1
0，则不等式f(log9x)>0的解集为________． 解析 (1)对任意x1≠x2，都有
f?x1?－f?x2?
>0. x1－x2
所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
?2－a>0，所以?a>1，
??2－a?×1＋1≤a，
3
解得2≤a<2.
?3?
故实数a的取值范围是?2，2?.
??
(2)∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上递增． ∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数， ?1??1??1?又f?2?＝0，知f?－2?＝－f?2?＝0.
??????故原不等式
?1?
>f?2?或??
>0可化为
?1?>f?－2?， ??
∴
11>2或－2<
x<0，
1
解得0
???1?0
??
?. ??
?????1?3?
答案 (1)?2，2? (2)?x?0
???????
1
【迁移探究1】 在例题第(1)题中，条件不变，若设m＝f(－2)，n＝f(a)，t＝f(2)，试比较m，n，t的大小．
解 由例题知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 31
且2≤a<2，又－2
【迁移探究2】 在例题第(2)题中，若条件改为：“定义在R上的偶函数y＝f(x)?1?
在[0，＋∞)上单调递减”，且f?2?＝0，则不等式
???1?解析 因为f(x)在R上为偶函数，且f?2?＝0，
??所以
＞0等价于
?1?＞f?2?， ??
1＜2，
>0的解集是________．
又f(x)在[0，＋∞)上为减函数，所以1
即－2＜
11
x＜2，解得3＜x＜3.
?1?答案 ?3，3?
??
规律方法 (1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域． (2)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．
【训练3】(2016·天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－2)，则a的取值范围是________．