第1讲 函数的概念及其表示法
考试要求 1.函数的概念，求简单函数的定义域和值域，B级要求；2.选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，B级要求；3.简单的分段函数及应用，A级要求．
知 识 梳 理
1．函数与映射的概念
两个集合 A，B 函数 设A，B是两个 非空数集 如果按照某种确定的对应关对应关系 f：A→B 映射 设A，B是两个 非空集合 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一个元素x，在集合B中都有一确定的数f(x)和它对应 唯一确定的元素y与之对应 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 映射：f：A→B 名称 记法 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数y＝f(x)，x∈A 2.函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．( )
(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( ) (3)函数y＝x2＋1－1的值域是{y|y≥1}．( )
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( )
解析 (1)函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数．
(3)由于x2＋1≥1，故y＝x2＋1－1≥0，故函数y＝x2＋1－1的值域是{y|y≥0}． (4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数． 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．(必修1P26练习4改编)下列给出的四个对应中： ①A＝B＝N*，对任意的x∈A，f：x→|x－2|； 1②A＝R，B＝{y|y>0}，对任意的x∈A，f：x→x2； ③A＝B＝R，对任意的x∈A，f：x→3x＋2；
④A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，对任意的(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y. 其中对应为函数的有________(填序号)．
1
解析 ①中，当x＝2时，|2－2|＝0?B，此对应不是函数；②中，x＝0时，x2无意义，此对应不是函数；③对应是函数；④中，A不是数集，故此对应不是函数． 答案 ③
ln?2x－x2?3．(2017·苏、锡、常、镇四市二调)函数f(x)＝的定义域为________．
x－1
2
?2x－x>0，ln?2x－x2?
解析 要使函数f(x)＝有意义，则?解得0 x－1x－1≠0，? 故函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2)． 答案 (0,1)∪(1,2) 4．(必修1P52习题6改编)设 ?1，x>0，f(x)＝?0，x＝0， ?1，x<0， ?1，x为有理数，g(x)＝?则 ?0，x为无理数， f(g(π))的值为________． 解析 g(π)＝0，f(g(π))＝f(0)＝0. 答案 0 5．(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________. 解析 由题意知点(－1,4)在函数f(x)＝ax3－2x的图象上，所以4＝－a＋2，则a＝－2. 答案 －2 考点一 求函数的定义域 【例1】 (1)(2017·南通调研)函数f(x)＝ln x ＋x－1 的定义域为________． f?x＋1? 的定义域是x－1 (2)若函数y＝f(x)的定义域是[1,2 017]，则函数g(x)＝____________． ?x?>0，x－1?解析 (1)要使函数f(x)有意义，应满足??x≥0，＋ 的定义域为(1，＋∞)． 解得x>1，故函数f(x)＝ln x x－1 (2)∵y＝f(x)的定义域为[1,2 017]， ?1≤x＋1≤2 017， ∴g(x)有意义，应满足? ?x－1≠0.∴0≤x≤2 016，且x≠1. 因此g(x)的定义域为{x|0≤x≤2 016，且x≠1}． 答案 (1)(1，＋∞) (2){x|0≤x≤2 016，且x≠1} 规律方法 求函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． x2－5x＋6 【训练1】 (1)(2015·湖北卷改编)函数f(x)＝4－|x|＋lg的定义域为 x－3________． (2)若函数f(x)＝2x 2＋2ax－a －1的定义域为R，则a的取值范围为________． 解析 ?42－|x|≥0， (1)要使函数f(x)有意义，应满足?x－5x＋6 ?x－3>0， ?|x|≤4，∴?则2 所以f(x)的定义域为(2,3)∪(3,4]． (2)因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，则x2＋2ax－a≥0恒成立．因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. 答案 (1)(2,3)∪(3,4] (2)[－1,0] 考点二 求函数的解析式 ?2? 【例2】 (1)已知f?x＋1?＝lg x，则f(x)＝________； ?? (2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________； ?1?(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f?x?·x－1，则f(x)＝________. ??22 解析 (1)令t＝x＋1(t>1)，则x＝， t－1∴f(t)＝lg 22，即f(x)＝lg(x>1)． t－1x－1 (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝2，得c＝2， f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1， 则2ax＋a＋b＝x－1，