2019年
9. 如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，点E，F，G，H分别是棱C1C，C1D1，D1D，DC的中点，点N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则点M只需满足条件________________时，就有MN∥平面B1BDD1.(填上正确的一个条件即可，不必考虑
全部的可能情况)
答案：点M与点H重合(或点M在线段FH上) 解析：当点M在线段FH上时，MN∥平面B1BDD1.
二、 解答题
10. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E，F分别是棱PC和
PD的中点．求证：EF∥平面PAB.
证明：因为点E，F分别是棱PC和PD的中点，
所以EF∥CD.
又在平行四边形ABCD中，AB∥CD，所以EF∥AB， 又AB?平面PAB，EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB.
11. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点E，F分别为BB1，AC的中点．求证：BF∥
平面A1EC.
证明：如图，连结AC1交A1C于点O，连结OE，OF.
在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OA＝OC1.
因为点F为AC的中点，所以OF∥CC1且OF＝CC1. 因为点E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE＝CC1.
所以BE∥OF且BE＝OF，
所以四边形BEOF是平行四边形，
所以BF∥OE.
又BF?平面A1EC，OE?平面A1EC，
所以BF∥平面A1EC.
12. 如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩
α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G.求证：四边形EFHG是平行四边形．
证明：∵ AB∥α，平面ABC∩α＝EG，∴ EG∥AB.
同理FH∥AB，∴ EG∥FH. 又CD∥α，平面BCD∩α＝GH.
∴ GH∥CD. 同理EF∥CD， ∴ GH∥EF.
∴ 四边形EFHG是平行四边形．
13. 如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点．求证：
(1) AD1∥平面BDC1； (2) BD∥平面AB1D1.
证明：(1) 因为点D1，D分别为A1C1与AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，
所以C1D1∥DA，C1D1＝DA，
所以四边形ADC1D1为平行四边形，
所以AD1∥C1D.
又AD1?平面BDC1，C1D?平面BDC1，
2019年
所以AD1∥平面BDC1. (2) 如图，连结D1D，
因为BB1∥平面ACC1A1，BB1?平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，
所以BB1∥D1D.
又D1，D分别为A1C1与AC的中点，
所以BB1＝DD1，
故四边形BDD1B1为平行四边形，
所以BD∥B1D1.
又BD?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，
所以BD∥平面AB1D1.
第3课时 直线与平面的位置关系(2)
一、 填空题
1. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”
的________条件． 答案：充分不必要
解析：l⊥α?l⊥m，l⊥n.反之，因为 m，n不一定相交，故l⊥m且l⊥n不一
定推出l⊥α.
2. 下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是________．(填序号)
① l与平面α内的两条直线垂直； ② l与平面α内的无数条直线垂直； ③ l与平面α内的某一条直线垂直； ④ l与平面α内的任意一条直线垂直．
答案：④
解析：由线面垂直的定义及判定定理可知④正确．
3. 下列说法正确的是________．(填序号)
① 若平面外一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面； ② 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线；③ 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个
平面． 答案：②
解析：当这两点在平面两侧时，直线与平面相交，①错误；②正确；③中垂直于
这条直线的另一条直线可能平行于这个平面或相交但不垂直于这个平面，③错误．4. 已知平面α，β和直线m，给出条件：① m∥α；② m⊥α；③ m?α；④
α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填序号)
答案：②④
解析：若m⊥α，α∥β，则m⊥β.故填②④.
5. 已知m，n是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：
① 若m∥α，n∥α，则m∥n； ② 若m⊥α，n⊥α，则m∥n； ③ 若m∥α，n⊥α，则m⊥n； ④ 若m⊥α，m⊥n，则n∥α.
2019年
其中真命题是____________．(填序号)
答案：②③
6. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线
段B1F＝________．
答案：2
1
解析：设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF.
由已知，得A1B1＝.设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h.
又2×＝h，所以h＝，DE＝. 在Rt△DB1E中，B1E＝ ＝.
由面积相等，得×＝x，解得x＝.即线段B1F的长为.
7. 如图，PA⊥平面ABC，在△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为
________． 答案：4
解析：??BC⊥平面PAC?BC⊥PC，∴ 直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC. 8. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为________．
答案：2
1
解析：如图，在平面ADD1A1中作A1E⊥AD1于点E，连结C1E，因为正方体ABCDA1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，所以A1E⊥AB.因为AD1 ∩AB＝A，AD1，AB?平面ABC1D1，则A1E⊥平面ABC1D1，所以∠A1C1E就是A1C1与平面ABC1D1所成的角，在Rt△AA1D1中，AA1＝A1D1，A1E⊥AD1，所以点E为AD1的中点，且A1E＝AD1＝A1C1，
所以sin∠A1C1E＝＝.
9. 设α，β是空间中两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同的直线．从“① m⊥n；② α⊥β；③ n⊥β；④ m⊥α”中选取三个作为条件，余下一
个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．(填序号)
答案：①③④?②或②③④?①
解析：因为当n⊥β，m⊥α时，平面α及β所成的二面角与直线m，n所成的角相等或互补，所以若m⊥n，则α⊥β，从而由①③④?②正确；同理②③④?①也
正确．
10. 如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角
形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，
CF⊥平面B1DF. 答案：a或2a
解析：由题意可得B1D⊥平面A1ACC1，∴ CF⊥B1D，∴ 为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，∴ x2－3ax＋2a2＝0，∴
x＝a或x＝2a. 二、 解答题
11. 如图，在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，PA＝AC，
点E是PA的中点，点F是PC的中点，求证：
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(1) PC∥平面BDE； (2) AF⊥平面BDE. 证明：(1) 连结OE，
因为点O为菱形ABCD对角线的交点，所以点O为AC的中点．
因为点E为PA的中点，所以OE∥PC. 因为OE?平面BDE，PC?平面BDE，
所以PC∥平面BDE.
(2) 因为PA＝AC，△PAC是等腰三角形，
又点F是PC的中点，所以AF⊥PC.
又OE∥PC，所以AF⊥OE.
因为PA⊥底面ABCD，BD ?平面ABCD，
所以PA ⊥BD.
因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，
所以AC⊥BD.
又PA∩AC＝A，AC?平面PAC，PA?平面PAC，
所以BD⊥平面PAC. 又AF?平面PAC，
所以AF⊥BD .
又OE∩BD＝O，OE?平面BDE，BD?平面BDE，
所以AF⊥平面BDE.
12. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D.
(1) 求证： AD⊥平面BCC1B1；
(2) 如果点E是B1C1的中点，求证：A1E∥平面ADC1.
证明：(1) 因为ABCA1B1C1是正三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥C1D，CC1，C1D?平面BCC1B1，CC1∩C1D＝C1，
所以AD⊥平面BCC1B1.
(2) 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，点E是B1C1的中点，
所以A1E⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1E?平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1E.
又因为B1C1，CC1?平面BCC1B1，B1C1∩CC1＝C1，
所以A1E⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1E∥AD.
又A1E?平面ADC1，AD?平面ADC1，
所以A1E∥平面ADC1.
13. 在直三棱柱ABC A1B1C1中，CA＝CB，AA1＝AB，D是AB的中点．若点P在
线段BB1上，且BP＝BB1.求证：AP⊥平面A1CD. 证明：∵ CA＝CB，D是AB的中点，∴ CD⊥AB.
∵ 在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC⊥侧面A A1B1B，交线为AB，又CD?平
面ABC，∴ CD⊥平面AA1B1B.