量的两个不同的状态。它们能够组合成奇本征函数和偶本征函数，分别有确定的宇称。 2.7 一粒子在一维势阱

?U?0,|x|?a, U(x)??0|x|?a?0,中运动，求束缚态(0?E?U0)的能级所满足的方程. 【题意分析】

已知条件：粒子处于一维有限深对称方势阱U(x)中运动； 待求问题：粒子的束缚态能级En； 相互联系：定态薛定谔方程（1-9）式 【求解过程】

因为势场U(x)是不连续的分段函数，我们将待求的本征函数?(x)也表示为分段形式

???(x),x??a??(x)???(x),|x|?a (2.7-1)

??(x),x?a??将(2.7-1)式代入定态薛定谔方程（1-9）中，得到

?h2d2??2mdx2??(x)?U0??(x)?E??(x),x??a?22?hd?(x)?E?(x),|x|?a (2.7-2) ??22mdx??h2d2?(x)?U0??(x)?E??(x),x?a??2?2mdx?由于束缚态能量满足条件0?E?U0，因此可以定义两个实参数

k?2mE/h2,??2m(U0?E)/h2 (2.7-3)

方程(2.7-2)可以简化为

???''(x)??2??(x)?0,x??a?2??''(x)?k?(x)?0,|x|?a (2.7-4) ??''(x)??2?(x)?0,x?a???由此解出

????Ae?x?Be??x,x??a????Csinkx?Dcoskx,|x|?a (2.7-5) ???Fe?x?Ge??x,x?a??

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考虑到束缚态波函数满足无穷远边界条件?(??)?0，上式中的系数B和F都必须等于零。在x??a处，波函数满足连接条件??(x)??(x)和??'(x)??'(x)；在x?a处，满足连接条件??(x)??(x)和??'(x)??'(x)，于是得到四个关系式

Ae??a??Csinka?Dcoska?Ae??a?kCcoska?kDsinkaGe??a?Csinka?Dcoska (2.7-6)

??Ge??a?kCcoska?kDsinka上式可以化为矩阵形式

?e??a???a??e?0??0?e??a?e??a00??A?????kcoska?ksinka0??C??0 (2.7-7) ??a???D?sinka?coskae????kcoskaksinka??e??a???G?sinka?coska0sinka?coska?kcoska?ksinka?sinka?kcoska?coskaksinkae00??a由于波函数不能等于零，上面的方程应该有非零解，这要求系数行列式等于零，即

?0 (2.7-8)

??e??a经过仔细的计算，得到

(?2?k2)sinkacoska?k?(cos2ka?sin2ka)?0 (2.7-9)

上式可以简化为

k2??2?2k?cot2ka (2.7-10)

这就是束缚态能量所必须满足的条件，将关系(2.7-3)代入(2.7-10)式后即可确定能量本征值。 又解：

方程(2.7-4)的解又可以表示为

????Ae?x?Be??x,x??a????Csin(kx??),|x|?a (2.7-11) ???Fe?x?Ge??x,x?a??无穷远边界条件要求系数B和F都必须等于零。在x?a处，波函数满足连接条件

??(x)??(x)和??'(x)??'(x)，当?(a)?0时，这两个条件可以归结为对数导数连接条件

(ln??)'?(ln?)'；同理，在x??a处，满足连接条件(ln??)'?(ln?)'，于是得到二个关

系式

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???kcot(ka??) (2.7-12)

??kcos(?ka??)上式为束缚态能量所必须满足的条件。 三解：

由于势阱具有对称性，因此束缚态本征函数具有确定的宇称。这样，我们不需要在全空间对薛定谔方程求解，只要考虑x?0时的情况。这时，方程(2.7-4)可以简化为

2???''(x)?k?(x)?0,0?x?a (2.7-13) ?2????''(x)????(x)?0,x?a在奇宇称的情况下，?(0)?0；结合无穷远条件?(?)?0，得到解函数

???Csinkx,0?x?a (2.7-14) ???xx?a????Ge,由x?a处的对数导数连接条件(ln??)'?(ln?)'，得到确定奇宇称能级的关系式

???kcotka (2.7-15)

在偶宇称的情况下，?'(0)?0；结合无穷远条件?(?)?0，得到解函数

???Dcoskx,0?x?a (2.7-16) ???x??Ge,x?a??由x?a处的连接条件(ln??)'?(ln?)'，得到确定偶宇称能级的关系式

????ktanka (2.7-17)

【物理讨论】

在第二解(2.7-12)式中，利用正切函数的和角公式cot(x?y)?去参数?，得到

cotxcoty?1，可以消

cotx?coty?2?k2cot2ka?cot[(ka??)?(ka??)]? (2.7-18)

?2k?这正是第一解中的结果。

将第一解中得到的束缚态能量条件(2.7-9)因式分解为

coskasinka(??ktanka)(??kcotka)?0 (2.7-19)

可见与第三解的结果(2.7-15)和(2.7-17)两式等价，但是第三解的物理意义更明显。

为了便于具体考察束缚态能级的性质，我们定义无量纲变量u?2mU0a2/h2，

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??ka，于是有

???a?u2??2 (2.7-20)

(2.7-17)式成为

???tan? (2.7-21)

联立(2.7-20)与(2.7-21)式就可以确定???的数值，这可以通过作图法得到。例如取

u?10，利用Mathematica命令

Plot[{Sqrt[u^2-?^2],? Tan[?]},{?,0,u}] 得到图形

20102468101020 图中出现了4个交点，对应4个能级。对偶宇称情况，当n??u?(n?1)?,n?N时，存在n?1个能级。对于奇宇称情况，可以类似讨论。 2.8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似地表示为

x?0??,?U,0?x?a?0U(x)??

??U1,a?x?b?b?x?0,求束缚态的能级所满足的方程. 【题意分析】

已知条件：粒子处于一维势阱U(x)中运动；

待求问题：粒子的束缚态能量本征值E所满足的方程； 相互联系：定态薛定谔方程(2-9) 。 【求解过程】

因为势场U(x)是不连续的分段函数，我们将本征函数?(x)也表示为分段形式。考虑到在区间x?0内势能为无穷大，因此?(x)?0。在x?0区间内

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