例9：在正方体 中，求二面角 的大小。

图15

简析：找、证、求是处理角度问题和距离问题的主要过程，找是关键。如图15，注意到 所在的平面即为截面 ，则过A作BD的垂线，交 于M、N，连接CM，由正方体的对称性知 ，故 即为所求。如果我们将视角放大，事实上 所在平面即为截面 ，在 中M为中心，AN为中线，所以 。

注意：上述解法中，我们利用截面使局部与整体很好地结合起来，通过整体来反馈局部特征，避免了求解角的繁琐过程。当然截面问题的难点在于如何作截面，在要求学生有扎实的基本功。 4.2.6 旋转开发新平面法 思维是数学的灵魂，每一种具体的数学知识都包含深刻的思想方法。每一中思想方法都同摄若干问题。立体几何的平面化思想正是化归思想的具体体现，能够主动自觉到运用化归思想处理立体几何问题，为寻求在新平面下的问题解决大开了广阔的思维空间。

例10：正方体 的棱长为1，P∈AC，过 的平面与底面所成 角，过 的平面与底面成 角，求 的最小值 。

简析：如图16（1），作出平面角 ，为了求 ，可将 作为某一三角形的两个角，故将 绕PO旋转到面 上得 ，将 绕PO旋转到面 上得 ，如图16（2），只需 的顶角最大即可。

图16（1） 图16（2）

在 中，可求得 设 ，由

知，当 的底边、高均为一定时，只有两边相等时，顶角最大，可求得 ，故 注意：利用旋转巧妙的将空间问题转化为平面问题，使问题得到了简化。转化的方式很多，不拘泥于现成的模式，只要有利于问题的解决和思想方法的深入，便是立体几何平面化思想的本质。

5.立体几何问题转化为平面几何问题的教学思考

《数学课程标准》中提出：教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。 《数学课程标准》将数学思想的培养列入数学学习的主题之一，从而进一步确立了数学思想在素质教育中的重要地位，转换思想的其中之一。众所周知，每门学科都在研究转换。如：医学在研究病理如何向健康转换；生物学在研究现有技术如何向尖端技术转换，为人类提供有利的帮助；人们的肌体每天都在把事物转换为可吸收的糖类、蛋白质、脂肪等。数学是研究空间形式和数量关系的相互转化。数学本身是研究矛盾对立面在一定条件下依照规律互相转换——已知与未知，多与少，抽象与具体，运动与静止，无限与有限，数与形等都在一定的条件下相互转化。从未知领域出发，向已知领域转化，为了实现转化，就要借助于“代换”，故称之为转换 。 中学数学中的转换有：代数中有解析式的衡等变换；方程、不等式的同解转换；解析几何中有坐标转换，数形转换，图象转换；几何中有合同转换，相似转换，射影

转换，等积转换等。各种转换的本质是变中的不变，转换是手段，揭示其中不变的东西才是目的。 在中学数学教育中，立体几何知识是其中非常重要的一部分内容，要怎样把握这一部分的教学才能实现学生在原有的知识结构上对这部分知识的同化和顺应呢，要怎样才能使学生建立起完整的立体几何知识结构并与原有的平面几何知识结构相融合，解决更多的现实问题？这就需要教师认真思考与研究了。鉴于对大量前辈教师的经验和自己的一点实习实践总结，现就关于立体几何中的空间问题平面化方法教学作如下思考：

把空间问题转化为平面问题来研究，是解决立体几何问题的重要方法，立体几何是平面几何的进一步延伸与拓展，也体现了几何教学的衔接性、统一性。对这种方法的掌握和运用，一定程度上反映了教师研究空间问题的水平和质量；对于学生，这种能力的培养和展现，直接体现其数学能力的可塑性程度。因此，在教学中要注意培养学生这方面的能力和注意这方面教学方法的研究。 5.1 在知识的形成过程中揭示空间问题与平面问题的转化 在现行的人教版中学数学教材中立体几何部分，空间问题转化为平面问题是教学的焦点之一，如：

5.1.1 空间角的平面化

空间角主要是指异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，这三个概念的定义，为我们把空间角转化为平面角提供了理论依据和具体方法。因此，在一个问题中，如果条件或结论关系到空间角的概念，首先要以概念为指导作出有关的空间角，然后逐步转化为平面角去解决。 例如当学生熟悉了异面直线的概念之后，很自然地会出现这样的问题：如何区分几组异面直线的不同位置关系呢？如图17中a，c是异面直线， b，c也是异面直线，如何区分这两 图17

组同是异面的直线？这里我们很自然地会想到在平面几何中区分同是相交直线时是用它们的夹角来区分的，这样就引出如何定义异面直线所成角的问题。异面直线是空间中既不相交也不平行的直线，怎么能得到它们的交角呢？为了解决这个问题，一个重要的数学意识——化归思想，正像教科书中讲的那样，将空间问题转化为平面问题来处理，问题了可得到妥善的处理了。 另外在讲授二面角及二面角的平面角的定义时，教师也应注意将立体几何问题类比或转换到学生熟悉的平面几何问题中去。平面角的定义：从一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形，叫做角，记作 。平面角的概念是由射线——点——射线构成的。二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，如图18所示，叫做二面角。记作： 图18

，其中AB（或a）叫做二面角的棱。二面角的概念是由平面——直线——平面构成的。从旋转的角度仍能进行相似的类比：平面角：一条射线绕着它的端点旋转，它的起始位置和它的最终位置所组成的图形。类比到二面角：从一条直线出发的半个平面绕着这条直线旋转，它的起始位置和它的最终位置所组成的图形。在知道了二面角的概念后我们要怎样用数量来度量它呢，这样根据实际的需要和可能，运用“化归”的思想把空间二面角的度量转换为平面内平面角的度量，而平面角的度量

是很容易办到的，这样就引出了二面角的平面角的概念。二面角的平面角的定义：在二面角上的棱上任取一点，在两个半平面内分别作该棱的垂线，那么这两条射线所组成的图形就是二面角的平面角。如图19所示。 图19

在二面角 中， ，则 是二面角 的平面角。

例11：P为二面角M-a-N一点，有 ，且PA=5，PB=8，AB=7，求这个二面角的度数。 图20

解：过相交直线PA，PB作一平面与棱a交于C，连AC，BC。∵ ，∴ ，同理 ，∴ 平面PABC。∴ ，∴ 是二面角M-a-N的平面角。在平面PABC中 ，∴ 。 在 中根据余弦定理：

∴ ，则 ，即二面角M-a-N为120°。 5.1.2 空间距离的平面化 立体几何中的距离问题，根据它们的定义都可转化为两点间的距离问题，这就是空间距离平面化的理论依据。例如求异面直线距离的基本方法是：或转化为求它们公垂线段的长；

或转化为求直线平行于平面间的距离；或转化为求二平行平面间的距离。而这三种方法最终又转化为求两点间的距离。

例12：已知正四面体V-ABC，求侧棱AB与VC的距离。

分析：如图21所示，如找到既与AB、VC都相交且垂直的DE是解决这道题的关键，根据“化归”思想，将问题转化为平面问题来解决。 图21

解：在平面ABC内作 ，连VD。在平面VDC内作 ，∵ 为正三角形，∴ D为AB的中点，又 为正三角形，∴ ，∴ 平面VDC， ，∴ ，∴ DE为异面直线AB和VC的距离。设AB=a，则 ， 。 5.1.3 三垂线定理

三垂线定理可作为平面的斜线与该平面内直线垂直的判定定理。关于平面的斜线和该平面内直线垂直的判别，一般说来是一个空间问题，三垂线定理把空间问题转化为平面内与该斜线在平面内射影垂直的判别这一平面问题。所以，这些知识无不体现空间问题平面化方法的运用。但是，因数学方法不像数学知识具体化那样明显、易于感知，因此，在知识形成过程中，教师应结合教学内容不失时机地揭示内容的空间问题平面化方法，让学生通过感知深刻理解和领会这种方法的思维过程。 例13：在长方体 中，AB=2， ，E是 的中点，连DB、ED、EB、EC。求二面角E-BD-C的大小。

分析：如图22所示，要作出二面角E-BD-C的平面角。采用三垂线定理法，根据长方体的性质先作出平面BDC的垂线ED，则平面角 易得到了。 图22

解： 是长方体，∴ 侧面 与底面ABCD互相垂直，在 内过E作DC的垂线EO，垂足为O。在平面BDC内过O作 ，连EP。则可知 ，则 即为二面角E-BD-C的平面角 。

在 中， ， ，则可得到 ∽ 。 ，∴ ，在 中，EO=1， ，∴ ， 。即二面角E-BD-C为 。

5.2 在例题教学中突出空间问题平面化方法

例题教学具有传授新知识，积累数学经验，完善数学认知结构等多种功能。因此在教学立体几何知识时,通过有关的实际例子,说明立体几何平面化方法在立体几何学习中的重要性,使学生认识学习和掌握这种数学方法的意义,并积极参加数学实践活动...因此,在数学教学中应加强解题的教学,教给学生学习方法和解题方法同时,进行有意识的强化训练

例题14：如图23（1），已知两条异面直线a，b所成的角为 ，他们的公垂线段 的长度为d，在直线a，b上分别取点E，F，设 ，求EF。

图23（1）

分析：本题所求的是两条异面直线上两点间的距离。因为已知条件比较分散，所以设法把它们转移使之转化为平面几何问题。由条件a，b所成的角为 ，联想到两条异面直线所成角的定义，于是过A点作直线c∥a，则b，c所成的角为 ，且 ，设两条相交直线c，b确定的平面为 ，两平行直线a，c确定的平面为 （如图23（2）），

图23（2）

易证 ，从而 ，且 ，在 内作 ，易知 ， ，这样已知条件a，b所成的角为 ， 全都被转移到平面 内。 解之得： ，

则， ∴

求异面直线上两点间的距离，是一个典型的空间问题。本题的成功之处在于通过条件转移，把相对分散的已知条件恰当集中，促使空间问题平面化，问题便不难得到解决。

例题15：在底面半径为5，母线长为10的圆锥中，AB为底面直径，P为顶点，从点A绕锥面打扫母线PB的中点M， 求：（1） 最短曲线AM的长； （2） 点P到这最短线的长。 略解：将圆锥的侧面展开，如图24

图24

（1） 设扇形的圆心角为 ，则 ，∴ ， ； （2） 作 ， ∵ ，∴ 。

“展平”是空间图形平面化常用的方法之一。如把圆柱、圆锥和圆台的侧面展开而得举行、扇形和扇环的图形等，以解决有关问题。 5.3 在作业设计中运用空间问题平面化方法的习题 数作业是课堂教学的延续和补充，是学生独立完成学习任务的活动形式，是数学教