第一部分 消费者选择理论
1.有两种商品，x1和x2，价格分别为p1和p2，收入为m。当x1?x1时，政府加数量税t,画出预算集并写出预算线
2. 消费者消费两种商品（x1，x2），如果花同样多的钱可以买（4，6）或（12，2），写出预算线的表达式。 3．重新描述中国粮价改革
（1）假设没有任何市场干预，中国的粮价为每斤0。4元，每人收入为100元。把粮食消费量计为x，
在其它商品上的开支为y，写出预算线，并画图。
（2）假设每人得到30斤粮票，可以凭票以0。2元的价格买粮食，再写预算约束，画图。 （3）假设取消粮票，补贴每人6元钱，写预算约束并画图。
4． 证两条无差异曲线不能相交
5． 一元纸币（x1）和五元纸币（x2）的边际替代率是多少？ 6． 若商品1为中性商品，则它对商品2的边际替代率？
7. 写出下列情形的效用函数，画出无差异曲线，并在给定价格（p1，p2）和收入（m）的情形下求最优解。 （1）x1=一元纸币，x2=五元纸币。
（2）x1=一杯咖啡，x2=一勺糖, 消费者喜欢在每杯咖啡加两勺糖。 8. 解最优选择 （1）
u(x1,x2)?x12?x2
（2）u?x1?x2
9. 对下列效用函数推导对商品1的需求函数，反需求函数，恩格尔曲线；在图上大致画出价格提供曲线，收入提供曲线；说明商品一是否正常品、劣质品、一般商品、吉芬商品，商品二与商品一是替代还是互补关系。
（1）u?2x1?x2 （2）u?min?x1,2x2?
abu?x?x12（3）
（4） u?lnx1?x2,
10. 当偏好为完全替代时，计算当价格变化时的收入效用和替代效用（注意分情况讨论）。
11. 给定效用函数 (x,y)?xy，px=3，py=4，m=60，求当py降为3时价格变化引起的替代效应和收入效
应。
12. 用显示偏好的弱公理说明为什么Slutsky替代效应为负。 13. 设w=9元/小时，R?18小时，m=16元，u(R,c)?cR
???R??,c??,L?? 求1）
2）w??12元，求R和L
?'?'
14．u?(c1,c2)?c1?c2,m1?2000,m2?1000, 两期的价格都是p=1，利息率r=10%。 1） 求c1,c2，有无储蓄？ 2）当r??20%时，求c1,c2。
15．一个人只消费粮食，第一期他得到1000斤，第二期得到150斤，第一期的粮食存到第二期将有25%的损耗。他的效用函数为：u(c1,c2)?c1?c2
??c??,c?? 121） 如果粮食不可以拿到市场上交易，最佳消费
??c??,c2?? 2） 如果粮食可以拿到市场上交易，两期的价格都是p=1，利息率r=10%，问最佳消费1????16．有一个永久债券（consol）, 每年支付5万，永久支付，利率为r，它在市场出售时价格应是多少？ 17．假设你拥有一瓶红酒，第一年价格为15元/瓶，第二年为25元/瓶，第三年为26元/瓶，第四年每瓶价格低于26元，设利息率为5%，你会何时卖掉你的红酒？ 18． 课本p173第四题（review questions）。
19. 一人具有期望效用函数，其对财富的效用为u(c)?c。他的初始财富为35,000元，假如发生火灾则
损失10,000元，失火的概率为1%， 火险的保费率为1.1%。问他买多少钱的保险（K=?），在两种状态下的财富各为多少？
20．一人具有期望效用函数，其对财富的效用为u(c)?c。他的初始财富为10，000元，有人邀请他参
加赌博，输赢的概率各为1/2。问以下情况下他是否同意参加？赢时净挣多少时愿意参加？ （1）赢时净挣10,000，输时丢10,000 （2）赢时净挣20,000，输时丢10,000
21．某消费者的效用函数为 u(x,y)?x?y，x和y的价格都是1，他的收入为200。当x的价格涨至2元时，计算消费者剩余的变化、补偿变换和等价变换。
22．证明当效用函数为拟线形时，消费者剩余的变化、补偿变换、等价变换都相等。
第二部分 生产者理论
23. 给定以下生产函数，求证是否边际产量递减，技术替代率递减，规模报酬递增或递减。 （1）
y?xx
141342??1/?y?(x?x),??1 12（2）
1/21/2f(x,x)?xx2， 已知p,w1.w2，则 12124．给定生产函数
***x,xxx?16x,x1212121） 当时，求使利润最大化的 2）当都可变时，求使利润最大化的 1/21/4**f(x,x)?xxx,xp?4,w?w?11212121225．给定生产函数， ，求使利润最大化的
26. 求条件要素需求和成本函数 (1) y?min(x1,2x2) (2) y?x1?2x2
aby?x?x12(3)
27. 对于生产函数y?k1/41/4L，资本的租赁价格为1元，劳动的工资为1元，固定投入为1000元。
1） 写出成本曲线
2） 计算AC, AVC, AFC, MC
3）计算minAC和minAVC时的AC,AVC,y, 28. 对以下成本函数求供给曲线
32C(y)?y?8y?30y?5 (1)
32C(y)?y?8y?30y?5，C(0)=0 (2)
第三部分 市场结构理论
29．消费者对商品 x 和在其它商品上的开支 y的效用函数为
u(x,y)?x?12x?y2
1） 市场上有完全同样的消费者100人，写出市场需求函数。 2） 该如何定价使销售收入最大？此时价格弹性是多少？
30．证明所有消费品的收入弹性的加权平均为1，权重为每个消费品的开支比例。 31, 给定需求和供给函数：D(p)=1000-60p, S(p)=40p 1) 求均衡p, q
2) 当加数量税 $5时，求新的均衡价格和数量。
3) 消费者和厂商各分担税收的百分比？ 4) 税收带来的额外净损失是多少?
32. 需求和供给函数分别为：D(p)=40-p, S(p)=10+p 1) 求均衡p,q
2) 如果对该商品进行配额管理，配额定为20，价格定为厂商所能接受的最低价，问该价格是多少？ 3）假如配给券可以买卖，问配给券的价格是多少？
33．已知某个行业中有n个技术相同的企业，每个企业的成本函数为：
C(y)?y2?1C(0)?0
产品市场需求函数为：D(p)=52.5-p
求长期均衡价格，厂商个数，以及每个厂商的利润。
34．在一个出租车市场上，每辆车每趟活的经营成本（MC）为5元，每天可以拉20趟活，对出租车的需求函数为 D(p)=1200-20.
1）求每趟活的均衡价格、出车次数和出租车个数。
2）需求函数改变为：D(p)=1220-20p, 如果政府给原有的司机每人发一个经营牌照，出租车个数不变，则均衡价格和利润为多少？
3）设一年出车365天，r=10%，牌照值多少钱？出租车所有者们愿出多少钱阻止多发一个牌照？ 35. 给定需求函数p(y)=2000-100y, 成本函数c(y)=1000+4y 1) 在垄断的市场下，价格、产量和利润分别为多少？
2) 如果企业按照竞争市场定价，价格、产量、利润分别为多少？ 36．一个垄断厂商面临学生s的需求函数为
Qs?220?40ps非学生N的需求函数为
QN?140?20pN。已知AC=MC=0，则
1）当不能差别定价时，如何定价？2） 当可以差别定价时，
Qs=？
QN
=？?=？
ps=？
pN
=？
Qs=？
QN
=？?=？
37．某一厂商在要素市场为买方垄断，在产品市场为卖方垄断，求其要素需求。
38. 一个市场的需求函数为：P(Y)=100-2Y, 企业的成本函数为：c(y)=4y 1)求完全竞争市场的均衡价格和产量
2)当市场上有2个企业时，求Cournot均衡的价格和产量。 3)求Cartel均衡时的价格和产量, 并说明违约动机。 4)求Stackelberg均衡时各个企业的产量和市场价格。
第四部分 对策论（博弈论）
39. 给定如下支付矩阵 Player A
T B
Player B L (a,b) (e,f) R (c,d) (g,h) (1). 如(T,L)是超优策略，则a-h间应满足什么关系？ （2）如(T,L)是纳什策略，则a-h间应满足什么关系？
（3）如(T,L)和(B,R)都是纳什策略，则a-h间应满足什么关系？
40. 在足球射门的例子中，混合策略是什么？个人的支付（payoff）为多少？
第五部分 一般均衡理论
41. 在一个纯粹交换的完全竞争的市场上有两个消费者，A和B，两种商品，X和Y。交换初始，A拥有3个单位的X，2个Ｙ，B有1个Ｘ和6个Y。 他们的效用函数分别为：U(XA, YA)=XAYA, U(XB, YB)=XBYB. 求
（1） 市场竞争均衡的（相对）价格和各人的消费量。 （2） 表示帕累托最优分配的契约线的表达式。
42． 其它条件相同，如果A的效用函数为 U(XA, YA)=XA+YA，求一般均衡价格和契约线。 43． 其它条件相同，如果A的效用函数为 U(XA, YA)=Min（XA,YA），求一般均衡价格和契约线。 44. 罗宾逊靠捕鱼为生，他的生产函数为F?L，其中F是鱼的个数，L是工作时间。他一天有10小时
用于工作或者游泳。他对于鱼和游泳的效用函数为U（F，S）=FS，其中S是游泳时间。问
(1) 最佳捕鱼量是多少，工作多少小时？
(2) 有一天他自己玩家家，假装成立了一个追求利润最大化的企业来生产鱼，雇佣自己的劳动，然后再用工资从该企业买鱼，该市场被设为竞争型市场。问(相对)均衡价格是多少？此价格下的生产（消费）和工作量是多少？
45. 罗宾逊每小时可以抓4条鱼（F），或者摘2个椰子（C），他一天工作8小时。礼拜五每小时可以抓1条鱼，或者摘2个椰子，一天也工作8小时。罗宾逊和礼拜五的效用函数都可以表示为U（F，C）=FC。
(1) 如果两人完全自己自足，各人的消费为多少？
(2) 如果两人进行贸易，各人的生产和消费为多少，交易价格是什么？
第六部分 公共品、外部性和信息
2246. 养蜂人的成本函数为：CH(H)?H/100，果园的成本函数为CA(A)?A/100?H。蜂蜜和苹果各
自在完全竞争的市场上出售，蜂蜜的价格是2，苹果的价格是3。
a. 如果养蜂和果园独立经营，各自生产多少？ b. 如果合并，生产多少？
c. 社会最优的蜂蜜产量是多少？如果两个厂家不合并，那么如何补贴（数量补贴）养蜂人才
能使其生产社会最优的产量？
47. 一条捕龙虾船每月的经营成本为2000元，设x为船的数量，每月总产量为 f(x)=1000(10x-x2)。
d. 如果自由捕捞,将有多少只船? e. 最佳(总利润最大)的船只数量是多少? f. 如何对每条船征税使船只数量为最佳?
48. 一条马路旁住了10户人家, 每户的效用函数都可以表示为: U(x, y) = lnx + y, 其中x代表路灯的数量, y代表在其它商品上的开支. 修路灯的成本函数为 c(x)=2x. 求社会最优的路灯数量 答案第一部分 消费者理论
1. 当x1?x1时，加数量税t,画出预算集并写出预算线 预算集：p1x1?p2x2?m...............(x1?x1)
(p1?t)x1?p2x2?m?tx1...................(x1?x1) 过程：
p1x1?x1?x1?p1?t??p2x2?m化简，即可得到上式??
2. 如果同样多的钱可以买（4，6）或（12，2），写出预算线。 p1x1?p2x2?m 则有 4p1?6p2?m，12p1?2p2?m
不妨假设p2?1，则可解得：
p1?1,m?82。
1x1?x2?82 预算线为
3．(1)0.4x?y?100（图中的黑色线段）
(2)??0.2x?y?100...........if..x?30（图中的蓝色线段）
0.4x?y?106...........if..x?30?
(3)0.4x?y?106（图中的红色线段，一部分与蓝色线段重合）
4. 证明：设两条无差异曲线对应的效用分别为u1,u2，由曲线的单调性假设，若u1?u2，则实为一条曲线。若
u1?u2，假设两曲线相交，设交点为x，则u(x)?u1,u(x)?u2，可推出u1?u2，存在矛盾，不可能相交。
5. -5(把一元纸币放在纵轴上)或者-1/5(把一元纸币放在横轴上),
6. 中性商品是指消费者不关心它的多少有无的商品
商品2 如果也是中性商品那么该题就无所谓无差异曲线,也无所谓边际替代率了. 商品2如果不是中性商品:
边际替代率是0(把中性商品放在横轴上)或者?(把中性商品放在纵轴上)
7. (1)x1 is indefinitely the substitution of x2, and five units of x1 can bring the same utility asthat one unit of x2 can do. With the most simple form of the utility function, u?x??x1?5x2,and assume that the prices of those two goods are p1 and p2 respectively and the total wealth of the consumer is m, the problem can be written as
maxu?x1,x2?s..tp1x1?p1x2?m
③Because 5p1=p2, any bundle ?x1,x2?which satisfies the budget constraint, is the solution of such problem.
(2) A cup of coffee is absolutely the complement of two spoons of sugar. Let x1 and x2 represent these
two kinds of goods, then we can write the utility function asu?x1,x2??min?x1,The problem of the consumer is
??1?x2? 2?maxu?x1,x2?s..tp1x1?p1x2?m
Any solution should satisfies the rule that x1?1x2, and the budget constraint. So replace x1 with 2m2m, andx2?.
p1?2p2p1?2p2(1/2)(x2) in the budget constraint and we can get x1?
8. (1) Because the preference is Cobb-Douglas utility, we can simplify the computation by the formula that the standardized parameter of one commodity means its share of total expenditure. So directly, the answer is x1?.（2）库恩-塔克定理。 Max f(x)
s.t gi (x)?0 (i=1…n) 定义：L=f(x)?最优性条件为： F.O.C :
2mm, x2?.（详细方法见8(2)） 3p13p1??g(x)
iii?g(x)?f(x)??i?ii?0； xkxkgi (x)?0；
?i?0；
互补松弛条件：?igi(x)?0；如果?i=0，则gi<0。如果?i< 0，则gi=0。 例
Max u(x,y)=x1?x2 s.t p1x1?p2x2?m
x1?0,x2?0.
L?x1?x2??1(m?p1x1?p2x2)??2x1??3x2（注意这里的预算条件与定理的符号相反，从而下面有?i?0）
1?1F.o.cx12??1p1??2?0①
21??1p2??3?0②
p1x1?p2x2?m,x1?0,x2?0③
?1?0,?3?0,?2?0
互补松弛条件：?1(m?p1x1?p2x2)=0 ④
?2x1=0 ⑤
?3x2=0 ⑥
由②知：?1?1??3>0 ，所以由④知：p1x1?p2x2?m ⑦ p2m>0，从而?2=0 p1 Ⅰ。如果?3>0，则x2=0，所以由⑦有 x1?121?1?再由①有 ?1???
2?mp1?由② ?3??1p2?1??3?p2?1????1 2?mp1?12122p2?1?p2?3必须满足?3>0，所以，? ??1>0?m<
2?mp1?4p12p2m所以当m<时，x1?，x2?0
p4p112p21Ⅱ。?3=0，则x2>0，由①知x1?0，所以?2=0，由因为?3=0，所以由②知?1?，代入①得，x1?，2p24p12p2p2p2mm?x2??，因为x2>0，所以>0?m> p24p1p24p14p122p2p2p2mx??所以，当m>时，解为：x1?，。 2p24p14p14p12大家也可以通过预算约束把x2表示成x2?mp1x1?，然后代入到效用函数中讨论其极值。 p2p29. (1)
max{2x1?x2}s.tp1x1?p2x2?m
?m??p1?m?商品一的需求函数为:x1??[0?]p1??0???
右图中,红色线为价格提供曲线.
ifififp1?2p2p1?2p2 p1?2p2x1的收入提供曲线,当p1?2p2时,是横轴
当p1?2p2时,是整个第一像限 当p1?2p2时,是纵轴
x20m?mifx?1?x2p21?m?ifx1?(0,] 反需求函数是:p1??2p22p2??[2p2,??)ifx1?0??恩格尔曲线:如果p1?2p2那么恩格尔曲线是:x1?x1m p1m],?m 2p2如果p1?2p2那么恩格尔曲线是一个柱面:x1?(0,如果p1?2p2那么恩格尔曲线是:x1?0,?m
x1是正常品(normal,相对于劣等品而言), 是一般商品(ordinary,相对于Giffen品而言) x2是替代品(其实是完全替代品) (2)
max{min(x1,2x2)}st.p1x1?p2x2?m
2mx1需求函数:x1?其中p1,p2,m是自变量
2p1?p2x2x1的反需求函数是:p1?mp22m?ifx1? x12p2x1的恩格尔曲线:x1?是参数.
右上图中红色线(x2?2m其中,m是自变量,p1,p22p1?p2x1x2 12mx1,x1?)是价格提供曲线 2p2右下图中绿线是收入提供曲线.x2?1x1 2x1 X1是normal good, ordinary good, and supplementary good for x2. (3)
bmax{x1ax2}st..
(求最大化的过程同第8题,这里从略) x1的需求函数:x1?amam(其中p1,p2,m为自变量), 反需求函数:p1?,
(a?b)p1(a?b)x1恩格尔曲线:x1?
am(其中m为自变量)
(a?b)p1右图中,红线为p1价格提供曲线,(x2?bm)
(a?b)p2兰线为收入提供曲线(注意,这里收入提供曲线是直线)
x1是normal good, ordinary good, 和x2没有总替代或互补关系. (4)
max{lnx1?x2}s....t
最大化求解过程同第8题,这里略去.
X1的需求函数:当m?p2时,x1的需求函数是:x1?p2m; 当m?p2时,x1的需求函数是:x1?
p1p1p2m; 当m?p2时,x1的反需求函数是:p1?
x1x1 X1的反需求函数:当m?p2x1的反需求函数是:p1??p2?p?1恩格尔曲线:x1???m??p1ifm?p2
ifm?p2右图中,红线为m>1时的p1价格提供曲线(x2=m-1);
绿线为m<1时的p1价格提供曲线( x2=0)(假设p2=1) 蓝线为收入提供曲线
x1是normal good,ordinary good. 是x2的总替代品。.
10. In this problem, we focus on the Slutsky substitution effect only.
Suppose the utility function isu(x1,x2)?x1?ax2,a?0.initially the prices of thecommodities arep1and p2, respectively, and the wealth of the consumer, m.
First, assume
?m?p11?, so that the initial consumption bundle is?,0?. Then the prices vary.Withoutloss of generality, p2a?p1?assume the price of commodity 1 varies fromp1top1?.
Case 1.
?m?p1?1
?, so that the final consumption bundle is?,0?.
?p??p2a?1?
Since under the final prices, given that the initial bundle is just affordable, the consumer picks exactlythe initial bundle as well, so that the own price substitution effect for commodity 1 is zero. And theincome effect ispositive if the price of commodity 1 becomes less, vice versa.
Case 2.
mm?, which is p1?p1p11?, so that any bundle satisfyingp1?x1?p2x2?mis probably selected.Suppose that finally the bundle?x1,x2?is p2achosen by the consumer.Under the final prices, and given the initial bundle can be just affordable, there are also infinitebundles which may be selected. Assume now, the consumer picksx1?,x2?. Then the substitutioneffect for
????commodity 1 isx1Case 3.
m? , and the income effect is x1?x1p1?m?p11?, so that the final bundle chosen by the consumer is?0,?.Since, under the new prices, the initial bundle is p2a?p2??mp??1?. So, the substitution effect for commodity 1 also exactly affordable, the bundle picked by theconsumer is ?0,?p1p2???is?m, and the incomeeffect for commodity 1 is zero. p1Now, assume initially
?m?p11?, so that the initial bundle is?0,?, then the price ofcommodity 1 becomes p1?. p2a?p2?Analogously, the followings hold:
Case 4.
?m?p1?1mIf , and the income effect is ?, the final bundle is?,0?. And the substitution effect for commodity 1 is
??p2ap1??p1??
zero.
Case 5.
p1?1If ?, and assume the final bundle selected by the consumer is?x1,x2?, thensubstitution effect for commodity 1
p2a
isx1, and the income effect is zero. Case 6.
p1?1If ?, the final bundle is then the initial bundle. Then both the substitution effectand income effect for commodity
p2a
1 are zero.
And then suppose initially
p11?, then any bundle satisfying p1x1?p2x2?mis probablyselected, assume p2athat?x1,x2?is initially chosen. Case 7.
?m?p?x?p2x2pxp1?1
?x1?22, If ?, then the final bundle is?,0?.The substitution effect for commodity 1 is 11?p??p2ap1?p1??1?
and the income effect is
mp2x2. ??p1p1?p1?1
And note, it’s impossible that ?. Otherwise the price of commodity 1 doesn’t vary at all.
p2a
Case 8.If
?m?p1?1
?, then the final bundle is?0,?. Under the final prices, if the initial bundle is just affordable, the p2a?p2??p1x1?p2x2?consumer shall select thebundle?0,?, so the substitution effect for commodity 1 is ?x1, and the
p?2?incomeeffect is zero. (End)
11．It is easy to find the initial consumption of y is
m30m30??7.5, the final one is ??10, and the bundle 2py43?2pychosen if one faces the budget line with the same slope of the final budget line and through the initial consumption bundle, which is
pxx?p?yy2py?26.25?8.75. 3So the substitute effect is 8.75-7.5=1.25, and the income effect is 10-8.75=1.25.(End)
12．For example, the price of commodity 1 decreases with the price of commodity 2fixed, we can draw a line with the same slope of the new budget line through the initial consumption bundle. And it is easy to find that any bundles lying on the left side of the new line are less than the initial consumption of x1 and vice versa. If the substitute effects are positive, we will find that the new optimal point lying on the left side, thus the WARPis violated. We can draw a conclusion that WARP supports the negative substitute effect (the law of demand).(End) 13. The problem of the consumer is
maxu?R,c??cR
s..twR?c?wR?m
1)
If w=9, R?18,m=16, set up the Lagrange function as
L?cR???m?wR?wR?c??cR???178?9R?c? f.o.c.R??, c?9?, 9R?c?178
Then R*?8973, L*?, c*?89 99 2)
If w??12, then the Lagrange function is
L?cR???m?w?R?w?R?c??cR???232?12R?c?
f.o.c.R??, c?12?, 12R?c?232
Then R*?(End)
2925, L*?, c*?116 33maxu?c1c214．(1)
c2m2 s.. tc1??m1?1?r1?rm2c?c1?2) 1?r1?rL?c1c2??(m1?f.o.c. c2??,c1??1?r
c1??1454.5,c2??1600,s??m1?c1??2000?1454.5?545.5,
(2) Similarly, we can get
c1??1416.7,c2??1700
maxu?c1c215．(1) maxs.. tc1?c2m
?m1?21?r1?rL?c1c2??(m1?m2c?c1?2) 1?r1?rf.o.c. c2??,c1?c1??600,c2??450
?1?r
maxu?c1c2(2)
c2m2
s.. tc1??m1?1?r1?rm2c?c1?2) 1?r1?rL?c1c2??(m1?f.o.c. c2??,c1??1?r
c1??568.2,c2??625.
16．有一个永久债券（consol）, 每年支付5万，永久支付，利率为r，它在市场出售时价格应是多少？
Solution：First, the interest rate here should be taken as net interest rate.We assume that the 50thousands yuan is going to be paid at the end of each year from now on。 According to the definition of present value：
Present Value??i?1?5?1?r?i?5 r25?1526?25x?26?0.667，r2??0.04，r3??0,x?26。152525(End)
17．答：计算储存这瓶红酒在各年的回报率：r1?因为利息率i＝5%>r2，所以应在第二年初卖掉这瓶红酒。
18．课本第四题（review questions）。 答：PV?40?1.1?1015.42。
19. 已知最优条件
2?1????cna?MU?ca?m??L??ca。可得，和预算约束cna??1??1??1??MUc???na??1???ca28832.06，
???1????m??L??1????2?cna???ca，代入预算约束，解出ca?2221??????1?????1?????????m??L??1????cna?22?1????2???1????1???
234957.38。
20．答：（1）参加赌博的预期效用是：EU1?1/2?20000?1/2?0?1002/2，不参加赌博的效用是100，较大。所以，此时不参加赌博。
（2）参加赌博的预期效用是：EU1?1/2?30000?1/2?0?1003/2，不参加赌博的效用是100，较大。所以仍不参加赌博。
设EU?1/2?10000?x?1/2?0?100?U?10000?，得到x?30000。所以，赢时净挣30000时愿意参加？ 21. :Cohb-Douglas效用函数下x，y的需求函数是：
x(px,py,m)?mmy(px,py,m)?
2py2pxx，y价格是1，收入为200时：
x(1,1,200)?200200?100，y(1,1,200)??100， 22消费者的效用u0?u(100,100)?10,000
x的价格涨至2时：
x(2,1,200)?200200?50，y(2,1,200)??100 42消费者的效用u1?u(50,100)?5,000 x
的价格从
21涨至
22时，消费者剩余的变化（The lost consumer surplus）是：
?CS??x(p,1,200)dp??1100dp?100ln2?69.3 p1用C表示补偿变化（Compensating variation）有：
u[x(2,1,m?C),y(2,1,m?C)]?u0or?200?C200?C??100,000 42C?200(2?1)?82.8用E表示等价变化（Equivalent variation）有：
u[x(1,1,200?E),y(1,1,200?E)]?u1or?200?E200?E??5,00022E?100(2?2)?58.6
22.Proof：拟线性的效用可以表示成：u(x,y)?v(x)?y
在预算约束pxx?y?m（把y的价格标准化为1）下，假设内点解，x的反需求函数是：px?v'(x)，由此可见，x的需求与收入无关，在y的价格不变时有：x(px,1,m)?x(px)， y的需求等于：y?m?pxx(px)
这时消费者的效用水平：u?v[x(px)]?m?pxx(px)
'设x的价格从px变化到px，则消费者剩余变化（The lost consumer surplus）是：
x(px)'x(px)?CS?[?0v'(x)dx?pxx(px)]?[?0''v'(x)dx?pxx(px)]'''?{v[x(px)]?m?pxx(px)}?{v[x(px)]?m?pxx(px)}
?u?u'设补偿变化为C有：
''u[x(px,1,m?C),y(px,1,m?C)]?uor?'''v[x(px)]?m?C?pxx(px)?u'''C?u?{v[x(px)]?m?pxx(px)?u?u'
设等价变化为E有：
u[x(px,1,m?E),y(px,1,m?E)]?u'or?'v[x(px)]?m?E?pxx(px)?u'
E?{v[x(px)]?m?pxx(px)}?u'?u?u'
对比可见对于拟线性的效用函数?CS?C?E
第二部分生产者理论
23.
2）
24.
25.
26. （1）y?min(x1,2x2) 解：成本最小化的问题是：
min(w1x1?w2x2)s.tmin(x1,2x2)?y
x1(w1,w2,y)?y显然，成本最小化要求x1?2x2?y，所以条件要素需求函数是：成本函数是：C(w1,w2,y)?(w1?（2）y?x1?2x2
y
x2(w1,w2,y)?2w2)y 2解：成本最小化的问题是：
min(w1x1?w2x2)
s.tx1?2x2?y
w2w2??y ifw?0 ifw?11??22??wwy??条件要素需求函数是：x1(w1,w2,y)??0?yifw1?2 x2(w1,w2,y)??0?ifw1?2
?2???0 if w1?w22成本函数是：C(w,ww12,y)?y?min(w1,22)
（3）y?xab1?x2
解：成本最小化的问题是：
min(w1x1?w2x2)s.txa?xb?
12y?a?1b最优条件：?MP1?MP?ax1x2ax2w1ab?1?2bx2xbx?1w?22， ?xa1?xb2?y(w(awb1x211,w2,y)?)a?b?ya?b解得：
bw1a1
x2(w1,w2,y)?(bw1a?baw)?ya?b2b成本函数是：C(w?b)?(waw111,w2,y)?(aaa)?b?(2b)a?b?ya?b
27. 3）
写出成本曲线
解；根据第一题中的结论，C(y)?111222?(4)2?(4)2?y?1000?2y?1000
4）
计算AC, AVC, AFC, MC
解；AC?C(y)y?2y?1000y MC?C'(y)?4y AVC?TVC(y)y?2y AFC?F1000y?y5）
计算minAC和minAVC时的AC,AVC,y,
解；
?22??y?2 if ww21?2min{AC?C(y)1000?2y?}yy?y?105 AC?405 AVC?205
TVC(y)min{AVC??2y}y?y?0 AC does not exist. AVC?0 28.
第三部分市场结构理论
29. 首先求解单个消费者的最优化问题：
1max{x?x2?y}2(其他商品上的开支设它是用货币度量的,所以价格标准化为1)
s.tpxx?y?m?MUx1?xpx??MU?1?1?x?1?px解联立方程组?得：? y2y?m?p?p?xx??px?y?mx?1)
x的市场需求函数是单个需求函数的横向加总：
X?100x?100(1?px)
2}销售收入用R表示，最大化销售收入就是：
maxR?100(1?px)px
dR?100(1?2px)?0dpx这时需求弹性是：?x??px?1 2pxdXpx??(?100)??1
Xdpx100(1?px)ni?130. Proof：无论任何价格，收入下，我们都有预算约束式?pixi?m成立，对预算约束是两边对收入m求导得：
i?1?pin?xi?1?m(1)
而：pi?ximxi?xpxm?xi?pii?ii?si?i………………………………（2） ?mmxi?mmxi?m其中，si，?i分别表示商品I的开支比例和收入弹性。 所以把（2）代入（1）有：?si?i?1，即得证。
i?1n31.
32.
33.
v
34.
35.（1）垄断企业的问题是：max{p(y)?y?c(y)}
y一阶条件：p(y)?y?p(y)?c(y)?0（1.1）
把p(y)?2000?100y, p(y)??100, c(y)?4代入到(1.1)式中：
''''?100y?2000?100y?4?0（1.2）
解得：y?9.98
价格为：p?2000?100y?2000?998?1002
利润为：??p(y)?y?c(y)?1002?9.98?1000?4?9.98?8960.04 （2）如果企业按照竞争市场定价，那么有：p?c(y)?4 产量为：y?20?(p/100)?20?0.04?19.98
利润为：??p(y)?y?c(y)?4?19.96?1000?4?19.96??1000
'*******MC,AC 垄断利润 p*
竞争定价的亏损 AC
36．（1）不能差别定价下,maxpQ，Q?Qs?Qn?360?60p。foc 360?120p?0。 所以，p?3，Qs?100，Qn?80，??540。
（2）可以差别定价下，maxpsQs，maxpnQn，foc 220?80p?0，140?40p?0。
**所以，ps?2.75，pn?3.5，Qs?110，Qn?70，??547.5。
*37. maxpq?w1x1?w2x2，
foc ?w?p?y?y?p?wi?ixi?0
?y?xi?xi?xi根据生产函数、需求函数和劳动供给函数就可以解出要素需求。 38. 1）
2）
3）
4）
第四部分对策论（博弈论）
39. (1) T is player A’s dominate strategy if and only if a?e and c?g; L is player B’s dominate strategy iff.
b?d and f?h. Therefore we should have:
a?e, c?g, b?d and f?h
(2) As (T, L) is Nash equilibrium, we know that given A choosing T, B will choose L, and vice verse. For this to hold; we need b?d and a?e
(3) Similarly, for (B, R) to be Nash equilibrium, we need h?f and g?c. Therefore if (T, L) and (B, R) are both Nash equilibrium,a-h should satisfy:
a?e, g?c, b?d and h?f
40. The payoff of the game is: The Penality Taker Left Right
Left (1,0) (0,1) The Goalkeeper
Right (0,1) (1,0)
Easy to check, there is no pure strategy Nash equilibrium in this game. Suppose in the equilibrium, the mixed strategy of the goalkeeper is (p, 1-p), which should equalize two expected payoffs of the penality taker:
takertakerUleft?0?p?1?(1?p)?Uright?1?p?0?(1?p)? p?0.5
Suppose in the equilibrium, the mixed strategy of the penality taker is (q, 1-q), which should equalize two expected payoffs of the goalkeeper:
keeperkeeperUleft?1?q?0?(1?q)?Uright?0?q?1?(1?q)? q?0.5
Therefore the mixed equilibrium is: {(0.5, 0.5); (0.5, 0.5)} The payoff of each player is;
Utaker?0.25?0?0.25?1?0.25?1?0.25?0?0.5 Utaker?0.25?1?0.25?0?0.25?0?0.25?1?0.5
第五部分一般均衡理论
41. （1）
max xAyAs..tpxxA?pyyA?3px?2py
解出：xA?3px?2py2px，yA?3px?2py2pypx?6py2py
类似的，xB?px?6py2px，yB?
又有均衡条件：xA?xB?3?1，yA?yB?2?6 所以，
4px?8py2px?4，
4px?8py2py?8，所以，px?2py
代入可知：xA?2，yA?4，xB?2，yB?4。 （2）
max xAyAs..t?4?xA??8?yA??uB
L?xAyA???uB??4?xA??8?yA??
f.o.c. yA???yA?8??0，xA???xA?4??0
得到：yA?2xA 42．（1）
max xA?yAs..tpxxA?pyyA?3px?2py
f.o.c.1??px?0,1??py?0
存在内点解时：px?py
max xByBs..tpxxB?pyyB?px?6py
解出：xB?3.5，yB?3.5。 通过均衡条件：xA?0.5，yB?4.5。 （2）
max xByBs..t?4?xB???8?yB??uA
L?xByB???uA??4?xB???8?yB??
f.o.c.yB???0，xB???0
所以，在存在内点解时，xB?yB。
43．（1）由uA可知，A的最优解为xA?yA。所以，xA?yA?3px?2pypx?py。
再由uB可知,xB?
px?6py2px，yB?px?6py2py。
由均衡条件可知：px?3?33py 2所以，xB?
33?1533?117?33, xB?，xA?yA?。
444（2）因为A的偏好是完全互补的，所以，只要约束是凸的，其最优解均为xA?yA，仅定义在xA??0,4?，
yA??0,4?。
44.
2）
45.（1）
（2）
第六部分公共品、外部性和信息
46. a.养蜂人：max {2H-CH(H)}? 2?MCH?H/50? H?100
H*
果农：max {3A-CA(A)}? 3?MCA?A/50? A?150
A*
m??2?H/50?1?H?150? ?m b.合并后：max {2H-CH(H)?3A?CA(A)}? ?
H, A?A?150?3?A/50?
c.社会最优如果指的是两家利润总和最大化，那么就与合并的目标函数相同，所以社会最优的蜂蜜产量是150。如果不合并，设每单位蜂蜜补贴t，那么对养蜂人有：
max {2H-CH(H)?tH}? 2?t?MCH?H/50? Ht?50(2?t)
H 要使Hm?Ht，有：50(1?t)?150? t?1
47.(补充一个条件：设龙虾的价格为1) a.
设自由捕捞时船数为x，则有：现在每条龙虾船利润不小于0，再多一只龙虾船利润小于0：
c?1?????1???b.
f(xc)?2000c?10?xc?2?xc ? ?x?8 ?ccf(x?1)??10?x?1?2?2000xc?1总利润最大也就是：max{f(x)?1?2000x}
x*一阶条件：f'(x)?2000 ? 10?2x?2 ? x?4 c.
设每条龙虾船每月征税t，这相当于每条龙虾船的月成本增加了t，按照a中同样的逻辑有：
?1?????1???
f(xt)?2000?tt??10?x?2?t/1000xtt ? ?x?[8?t/1000] ?ttf(x?1)??10?x?1?2?t/1000?2000?txt?1（其中[r]表示实数r的整数部分）
要达到最佳也就是要让
xt?[8?t/1000]?x*?4? 4?8?t/1000?5? 3000 对每条船的征税在(3000,4000]区间上，就可以是自由捕捞的船只数达到最优。 48. 已知 ?u??lnx?yiiii?10lnx??yi，c?2x。 i因为社会最优时有：MU＝MC，故 10?2，即x?5 x