两层采用分层抽样。同时当年产量和去年产量之间有相关关系，故还计划采用比估计方法。已知平原共有120个村，去年总产量为24500（百斤），山区共有180个村，去年总产出为21200（百斤）。现从平原用简单随机抽样抽取6个村，从山区抽取9个村，两年的产量资料列在下表中。试用分别比估计与联合比估计分别估计当年的总产量，给出估计量的标准误，并对上面的两种结果进行比较和分析.

平 原

山 区

答案：单选1.B 2.A 3.A 4.C 5.A 6.A 7.B

多选1.BC 2.ABCD 3.ABCD 4.ABCDE 5.CE 6 .CD 7.ABCD

习题五

（一）单项选择题

1.（ ）是最简单的不等概率抽样。 A. 整群抽样 B. 多项抽样 C. 多阶段抽样 D. 系统抽样

2. 下面有关包含概率和性质的表达式中，错误的是（ ） NN A. ? i ? n B.

?ij?(n?1)?ii?1 j?1 NNN1??n(n?1) C. ? ij ? D. (n?1)?i?jij2i?1j?1j?1

（二）多项选择题

1. 多项抽样的实施方法包括（ ） A. 布鲁尔（Brewer）方法 B. 拉希里（Lahili）法

C. 重抽法 D. 代码法 E. 插补法

2. 对于不放回的不等概率抽样，其样本的抽取方法包括（ ） A. 逐个抽取法 B. 重抽法 C. 系统抽取法 D. 全样本抽取法 E. 插补法

（三）名词解释题

1. 不等概率抽样：如果总体中每个单元进入样本的可能性是不相等的，则这种随机抽样方式就称为不等概率随机抽样，简称不等概率抽样。

N2. 多项抽样：设 Z 1 , Z 2 ,..., Z N 是一组概率， ，按这组概率对总体中的N个单元

Zi?1 i?1进行放回抽样，每次抽到第 i 个单元的概率为 Z i ，独立地进行这样的抽样n次，则称这种不等概率抽样为多项抽样。

3. pps抽样：在多项抽样中，如果是放回抽样，且每个单元入样概率与其大小或规模 M i严

NMi 是第 个单元的大 格成比例，即当n固定时，记 Z ? M M ( M ? M )。其中，

ii00ii?1 NM小或规模（size）的度量； 0 ? M i是总体中所有单元的“大小”之和。我们将此种情形

i?1的多项抽样称为pps抽样。

?? PS4. 抽样：在多项抽样中，如果是不放回抽样，且每个单元的包含概率 i与其大小或规NM模 i严格成比例，仍记 Z i ? M i M M i i ? nZ ，将这)，有 ?i0(M0?i?1?种情形的多项抽样简称为严格 PS 抽样。

(四)简答题

请分别说明代码法和拉希里法的实施过程 （五）计算题

Z i ，如下表所示。试利1.对一个N=10的总体进行调整，事先规定了每个单元被抽中的概率

用代码法抽出一个n=3的pps样本。

???????i??iZiiZi

2. 假设上面第1题中被抽中的是3，5，7号单元，经过调查，这三个单元的观测值分别为1187，426，1253，试估计总体总量并计算估计量的方差和标准差。

3. 某部门要了解所属8500家生产企业当月完成的利润，该部门手头有一份上年各企业完成产量的报告，将其汇总得到所属企业上年完成的产量为3676万吨。考虑到时间紧，准备采用抽样调查来推算当月完成的利润。根据经验，企业的产量和利润相关性比较强，且企业的特点是规模和管理水平差异较大，通常大企业的管理水平较高，因此采用与上年产量成比例的 PPS 抽样，从所属企业中抽出一个样本量为30的样本，调查结果如下表所示：

imiyiimiyiimiyi注：*号表示该样本被抽中两次； m i 为该企业上年完成的产量（单位：万吨）； y i 为企业当月完成的利润（单位：百万） 请根据表中的调查结果估计该部门所属企业当月完成的利润，并给出95%置信度下估计的相对误差。如果要求在相同条件下相对误差达到20%，所需的样本量应该是多少？ 4.假设有5个小区，每个小区的住户数X已知，但常住居民人数未知，现从5个小区中按照不放回的不等概率抽样抽出2个小区进行调查，进而估计5个小区的常住居民总数。数据如

?i下表：

Xi注：表中的包含概率 ? i 按照，? i?nXiX0X0? 算得

（1）请根据表中数据计算出所有可能样本的霍维茨—汤普森（Horvitz-Thompson）估计量以及简单随机抽样的简单估计量。 （2）倘若抽样是按照布鲁尔（Brewer）方法进行的严格 ? PS 抽样，请比较霍维茨—汤普森（Horvitz-Thompson）估计量与简单随机抽样的简单估计量的精度。

5.假设总体的大小N=5，单元指标值分别为10，20，30，40和50，采取n=2的不放回 ? PS 抽样。试列出所有可能的样本，计算每个单元和每对单元被抽入样本的包含概率? i 和? ij ，并验证 ? i ? 2, ? ij。? ?ij?i

6. 某个大型企业欲估计整个企业人员一年的人均病假天数，该企业有8个子公司，为了方便起见拟抽取3个公司进行调查然后推断整个企业，但每个子公司的人数不同，而且差别很大，所以采用按人数成比例的pps抽样。 各子公司的人数

???

（1）请列举一种抽选方法，说明抽选的步骤。

（2）若抽中的是第3，6，8这三个子公司，其病假的总数分别为4320人日，4160人日和5790人日，估计全企业的人均病假天数，并计算抽样标准误。

7. 某地区欲调查水稻播种面积，以村作为抽样单元，采取按普查人数进行放回的pps 抽样，共抽中10个村，其数据如下： 已知该地区普查人口总数为415149

（1）估计该地区的水稻种植面积和相对标准差；

（2）若要求相对标准差控制在2%以内，求必要的样本量。

8. 有一个估计某城镇现有第三产业单位数的例子。假设有去年年底的普查数和现有的实际单位数，分街道统计如下：