2．1 合情推理与演绎推理

1．合情推理和演绎推理是数学活动中常用的两种推理形式，它们具有不同的形式、特点和作用．本节先分别研究它们的特点和作用，然后再通过对具体的数学发现过程的分析，进一步体会它们之间的联系，在具体的数学思维过程中感受它们的作用．

2．演绎、归纳、类比是学生熟悉的推理方式．教材列举了3个例子，开始了对这些推理形式的考察．教学中可以让学生举出更多的例子．

3．通过揭示三个推理案例的共同点概括出“推理”的概念．并根据它们在结构上的不同特点，进行分类研究，这个过程虽然简单，却体现了案例分析是本章教学的主要形式的特点．

2．1．1 合情推理

1．合情推理是由G·波利亚提出的概念．他通过对数学发现活动的分析注意到数学活动是由“猜想”和“论证”两个环节构成的，相应地在这两个不同的环节里使用着不同的思维方法，即合情推理与论证推理（教科书中称为演绎推理）．G·波利亚并没有为合情推理下定义．实际上，在教学中，只要让学生把合情推理看成是提出猜想的推理而演绎推理是可以给出证明的推理就行了．据此，教科书按照G·波利亚的思路，编写了引言，突出了对探索活动的分析，突出了“猜想”和“证明”两个重要的思维环节，而对合情推理的定义作淡化处理（只在阅读材料中提了一下）（《课程标准》给合情推理作了如下定义：合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某地结果的推理过程．）

2．归纳、类比是合情推理的两种常用的形式，除此以外，合情推理还有其他的多种形式，如：联想、想象、直觉等等．

2．1．1．1 归纳推理

1．归纳推理是学生熟悉的推理方式．和过去不同，在本节中，我们专注于推理的形式，而不关注推理的内容，即专门对推理的形式进行考察，考察的重点则是归纳推理的特点和它的作用．

2．归纳推理的一般模式为： S1具有P，

S2具有P， ……

Sn具有P（S1，S2，…，Sn是A类事物的对象） —————————————————————————— 所以，A类事物具有P． 教学中可以介绍给学生．

3．“思考”要求列举更多的有关归纳推理的例子，下面的例子可供参考． （1）观察：

1 = 12，1 + 3 = 22，1 + 3 + 5 = 32，1 + 3 + 5 +7 = 42， 由此猜想：

1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n

1) = n2．

（2）1640年，费马在给友人的信中谈到：

01234222222 + 1 = 3，2 + 1 = 5，2 + 1 = 17，2 + 1 = 257，2 + 1 = 65 537都是n

2素数，由此，他猜想：任何形如2 + 1（n

N）的数（通常称为费马数，记作

5

2Fn）都是素数．此后，一直未有人怀疑过这个结论．直到1732年，欧拉发现F5 = 2

+ 1 = 4 294 967 297 = 641 6 700 417并不是素数，才推翻费马的猜想．

此例还说明，在归纳推理中，根据同一个前提，可以推出不同的结论：当n > 1时，Fn的末位数字是7（猜想）．

2．要让学生体会到归纳不仅是一种方法，而且体现了一种态度．欧拉说：把归纳看成是一种机会，“以便证明它或推翻它”，这就是我们对待归纳的态度，而归纳的价值就在于“在这两种情况之中我们都会学到一些有用的东西．”可以看出，归纳的态度就是探索的态度，这一点在华罗庚的“摸球”游戏中也得到了充分的体现．要让学生体会到，探索活动是在猜想的推动下进行的，没有猜想就没有探索！而归纳的价值就在于它是提出猜想的一种方法！

3．在归纳推理中，根据同一个的前提，往往可以推出不同的结论．例如从例4中的推理前提出发，也可以得到当n＞1时，Fn的末位数字是7的结论（猜想）．

4．完全归纳法（和数学归纳法类似）实质上是一种演绎推理，它是一种必然性推理，是数学证明的工具，因此它不属于合情推理．

2．1．1．2 类比推理

1．类比推理是学生熟悉的推理方式．和过去不同，在本节中，我们专注于推理的形式，而不关注推理的内容，即专门对推理的形式进行考察．

2．类比推理的一般模式为： A类事物具有性质a，b，c，d， B类事物具有性质a'，b'，c'， （a，b，c与a'，b'，c'相似或相同） ———————————————— 所以，B类事物可能具有性质d'． 教学中可以介绍给学生．

3．例1是根据等式的性质类比不等式的性质．

4．例2可以看成是系统间的类比．用现代数学的角度来看，类比就是两个具有同构关系的模型间的推理．数学（科学）发现活动中的类比绝大多数都是这类类比．在教学中要注意对类比过程的分析．

5．类比可以看成是从已知的相似性，推断未知的相似性的推理．在教学中要引导学生对类比的过程进行分析，弄清在推理中究竟是从哪些已知的“相似性”推出什么样的未知的“相似性”的．

6．在运用类比推理时，首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；然后，再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想．在教学中不要满足于对对象相似性的模糊认识，要坚持把它们的相似性用语言确切地表述出来．只有这样，才能把类比和“比喻”区别开来．

2．1．2 演绎推理

1．演绎推理是一种重要的推理形式，通过数学学习，学生已经在广泛地使用它，在教学中，要让学生体会到演绎推理是严格按照逻辑法则进行的推理，是必然性推理的特点．

2．三段论是演绎推理的主要形式．三段论有多种格式，教科书介绍了其中常用的一种，其用意在于让学生体会到演绎推理是一种形式化程度相当高的推理，而不是正面讲“三段论”，因此，在教学中不必拓展补充．

3．除了三段论以外，演绎推理还有直接推理，关系推理、联言推理、假言推理、选言推理等多种形式．

4．三段论也有多种形式，三段论的依据是不言自明的三段论公理：一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物的部分也是什么或不是什么．对此教科书中用集合论的语言和图形作了说明，其目的是帮助学生理解三段论．（教学中不必提出三段论公理）

5．三段论推理在数学中有重要的应用，特别是在理论初建或概念性质运用的初期．但是数学推理过程不全是三段论组合，直接用三段论推理的并不多，有些数学证明过程（如教科书中例2），虽然可以归结为三段论的组合，但却太为繁琐了，所以并不实用．

6．数学并不等同于逻辑，它已独自发展几千年，尤其是它的符号系统，使得它有自身的一套简单的推理形式或规则，尽管它能用三段论解释，但大可不必去追溯它的三段论本源．因而在数学中，直接选定了若干演绎推理的规则．如：“如果P?q，P真，则q真”、“如果b?c，，a?b，则a?c”（三段论的“数学形式”）等等．（如课本中例2的证明就使用了这些规则）应该告诉学生，数学中的运算也是演绎推理的一种形式．

7．在数学中学习演绎推理，并不等同于学习形式逻辑或数理逻辑，课程标准规定，本小节的学习目标是，“体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理”，相信注意到这些，就可以理解教科书的编写意图，并掌握教学的分寸了．

8．在叙述演绎推理的特点时，要和归纳、类比的特点对照，让学生理解它们是两类不同的推理．

9．教科书中说“演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性”，这并不是说，演绎推理就完全没有发现功能，更不是说演绎推理在数学发现活动中没有作用．为了让学生全面认识演绎推理在发现活动中的作用，教科书提供了阅读材料：“海王星的发现和探索性演绎法”，这个材料对全面准确地理解演绎推理在探索活动中的作用是很有帮助的．

2．1．3 推理案例赏析

1．《推理案例赏析》是推理方法的综合应用，是对推理方法更深层次的考察．这