2006年福州大学研究生入学考试试题(共10题，每题15分)

一．按定义证明：

?n?1,??nm1rn?? (1)lir此处n?n???n?1,??n

n?2k(k?Z)； (2)limn?2k?1(k?Z)x?3x?31?. x2?96二．证明limf(x)?A的充要条件是：对任何以x0为极限的数列xn，xn?x0，都有

x?x0f(xn)?A(n??)。

三．证明f(x)?sinx在(??,??)上是一致连续的，但g(x)?sinx2在(??,??)上是非一致连续的。

四．证明：若?x,y?R，有f(x)?f(y)?M(x?y)，其中M是正常数。则f(x)是常函数。

五．计算下列各题： (1)limx?02x1?ex2? x 0etdt; (2)2?x?dxx?12

六．设?an?为单调增加的正数数列，则数列?an?收敛的充要条件是级数

?(1?n?1?an )收敛。

an?1七．连续函数序列?fn(x)?在区间[a,b]上一致收敛于极限函数f(x)，且已知f(x)在[a,b]上无零点，证明函数列?

22yy?2u2?u2?u八．设u?x?()??()，其中?、?二阶可微，求x。 ?2xy?y22xx?x?x?y?y?1?1在区间上一致收敛于极限函数。 [a,b]?f(x)f(x)?n?

x2y2z22九．求曲面(2?2?2)?cz,(a,b,c?0)所围成区域的体积。

abc

十．计算曲线积分I?(x?y)dx?(x?4y)dy，其中L是平面上光滑的不经过(0,0)点?22?Lx?4y的简单闭曲线，方向为逆时针。

2009年福州大学研究生入学考试试题(共10题，每题15分分)

一．求下列极限：

3aa2?(1?2 (1)limn??nn

?n(n?1)2 )(a?0的常数) (2)limn??k?n2?1 k二．设f(x)在x?0的某个邻域内连续，且f(0)?0，lim (1)f?(0 ) (2)求limx?0f(x)?2。求：

x?01?cosxf(x) (3)证明f(x)在x?0有极小值。 x2

三．设fn(x)?n?xe?nx，其中?为参数，求?的范围。使得?fn(x)?在[0,1]上一致收敛。

四．设a1?2,an?1?11(an?),n?1,2,? 。证明： 2an?(1)liman存在 (2)级数?(n??n?1an?1)收敛 an?1

五．设有界函数f(x)在区间[a,b]上的不连续点构成数列?xn?，且limxn?a。证明函数

n??f(x)在区间[a,b]上可积。

?x2y?六．设f(x,y)??x2?y2?0?x2?y2?0x2?y2?0 。证明：(1)f(x,y)在(0,0)点存在偏导数；

(2)f(x,y)在(0,0)点不可微。

七．计算

22yy?2u2?u2?u八．设u??()?x?()，且?、?二阶连续可微，求证：x?2xy?y?0 22xx?x?x?y?y?? 2?dy?sinxdx。

y??x ?

九．计算 十．计算

2222(x?y?z)dS，其中S:x?y?z?a,x?0 ??S2222V(x?y)dxdydz，其中由x?y?2z和平面z?2所围成。 ???V