2019年
?1?2
＝4?t＋?＋3≥3， ?2?
1
当且仅当t＝－时等号成立．
2
||的最小值为3， →→|的最小值为3. ∴|OA－tOB→→∴OA－tOB2
9．已知向量a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8，则a在a＋b方向上的投影为________． 答案
1310
10
解析 由a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8， 可知|a|＝2＋4＝25， (a－2b)＝a＋4b－4a·b＝64， 则a·b＝－7，
所以a在a＋b方向上的投影为
2
2
2
2
2
a·?a＋b?a2＋a·b＝2
|a＋b|a＋b2＋2a·b＝
1310
＝. 1020＋4＋2×?－7?
20－7
10．(2018·烟台模拟)如果|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，则|a－2b|的值是________． 答案 26
解析 由|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4， 得|a－2b|＝?a－2b?＝a＋4b－4a·b
2
2
2
＝4＋36－4×4＝26.
π1
11．(2018·石家庄模拟)已知向量a与b的夹角是，|a|＝1，|b|＝，则向量a－2b与a的夹角为________．
32答案
π
3
π1
解析 a·b＝|a||b|cos ＝，
34
a·(a－2b)＝a2－2a·b＝，
|a－2b|＝?a－2b? ＝a－4a·b＋4b＝
2
22
12
11
1－4×＋4×＝1.
44
a·?a－2b?1
设向量a－2b与a的夹角为θ，cos θ＝＝，
|a||a－2b|2
又因为θ∈[0，π]，
2019年
π
所以θ＝.
3
12．(2018·宁德质检)我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人，他在《张丘建算经》中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为x，y，z，则鸡翁、鸡母、
z??5x＋3y＋＝100，3鸡雏的数量即为方程组?
??x＋y＋z＝100
正整数m的值为________．
的解．其解题过程可用程序框图表示，如图所示，则程序框图中
答案 4
z??5x＋3y＋＝100，3解析 由?
??x＋y＋z＝100，
7
得y＝25－x，故x必为4的倍数，
4当x＝4t时，y＝25－7t，
由y＝25－7t>0得，t的最大值为3， 故判断框应填入的是t<4？， 即m＝4.
π
13．若非零向量a，b满足|b|＝2|a|，若(a＋2b)⊥(3a－tb)，a与b的夹角等于，则实数t的值为________．
49答案 5
π
解析 由a与b的夹角等于可得
4πa·ba·b2cos＝＝，故a·b＝|a|. 2
4|a||b|2|a|由(a＋2b)⊥(3a－tb)可得
2019年
3a－ta·b＋6a·b－2tb＝0， 即3|a|＋(6－t)|a|－4t|a|＝0， 又a为非零向量，
92
所以|a|≠0，则有3＋6－t－4t＝0，解得t＝.
5
→→→
14．(2018·咸阳模拟)已知圆的半径为1，A，B，C，D为该圆上四个点，且AB＋AC＝AD，则△ABC面积的最大值为________． 答案 1
→→→
解析 如图所示，由AB＋AC＝AD知，四边形ABDC为平行四边形，
2
2
2
22
又A，B，C，D 四点共圆，
∴四边形ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径， 11AB＋AC12
△ABC的面积S＝AB·AC≤·＝AD，
2224∴当AD是圆的直径时，△ABC的面积最大． ∴当AB＝AC 时，
1
△ABC的面积取得最大值×4＝1.
4
2
2