2019年
8＋6分项练4 平面向量与数学文化
→→→
1．(2018·贵阳模拟)如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若AB＝a，AC＝b，则AO等于( )
A.12a＋12b B.112a＋4b C.14a＋12b D.114a＋4b 答案 B
解析 ∵在△ABC中，BE是AC边上的中线， ∴→AE＝1→2AC，
∵O是BE边的中点， ∴→AO＝1→→
2(AB＋AE)，
∴→AO＝1→2AB＋1→4AC，
∵→AB＝a，→
AC＝b， ∴→AO＝1
12a＋4
b.
2．(2018·上饶模拟)设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则→AD·→
AE等于( A.489 B.9 C.269 D.263 答案 C 解析 如图，
|→AB|＝|→AC|＝2，〈→AB，→AC〉＝60°， ∵D，E是边BC的两个三等分点，
) 2019年
→→?→1→??→1→??2→1→??1→2→?∴AD·AE＝?AB＋BC?·?AC＋CB?＝?AB＋AC?·?AB＋AC?
3??3??33??33??2→25→→2→2
＝|AB|＋AB·AC＋|AC| 999251226＝×4＋×2×2×＋×4＝. 99299
3．(2018·昆明模拟)程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( ) A．65 B．176 C．183 D．184 答案 D
解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996. 8×7由等差数列前n项和公式可得8a1＋×17＝996，
2解得a1＝65.
由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.
4．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中
OA＝1，则给出下列结论：
2→→→→
①HD·BF＝0；②OA·OD＝－；
2
→→→→→
③OB＋OH＝－2 OE；④|AH－FH|＝2－2. 其中正确结论的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1 答案 B
解析 正八边形ABCDEFGH中，HD⊥BF， →→
∴HD·BF＝0，故①正确； →→
OA·OD＝1×1×cos
→
→
→
3π2
＝－，故②正确； 42
→
OB＋OH＝2 OA＝－2 OE，故③正确；
→→→→→
|AH－FH|＝|AF|＝|OF－OA|，
2019年
3π→2
则|AF|＝1＋1－2×1×1×cos＝2＋2，
4→
∴|AF|＝2＋2，故④错误． 综上，正确的结论为①②③，故选B.
→→
5．(2018·聊城模拟)在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是△ABC所在平面上的任意一点，则PA·PB＋→
PA·PC的最小值为( )
A．1 B．2 C．－2 D．－1 答案 C
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A(0,2)．
→
设点P的坐标为(x，y)，
→→
则PA＝(－x，2－y)，PO＝(－x，－y)，
22→→→→→→→→→＝2PA(x＋y－2y) 故PA·PB＋PA·PC＝PA·PB·PO＝2＋PC()
＝2[x＋(y－1)]－2≥－2，当且仅当x＝0，y＝1时等号成立．
2
2
→→→→
所以PA·PB＋PA·PC的最小值为－2.
6．(2018·石家庄模拟)三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示“勾股圆方图”中由四个全等的直角三角形(直角边长之比为1∶3)围成的一个大正方形，中间部分是一个小正方形，如果在大正方形内随机取一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是( )
A.3 2
3 2
B.3 4
3 4
C．1－D．1－答案 C
解析 由题意可知，设直角三角形的直角边长分别为k，3k(k>0)， 则大正方形的边长为2k，小正方形的边长为(3－1)k， 所以大正方形的面积为4k，小正方形的面积为(3－1)k，
2
22
2019年 ?3－1?k3故所求概率为＝1－. 24k27．(2018·南平质检)我国古代著名的数学著作有《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算机》等10部算书，被称为“算经十书”．某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣．一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，有趣的是，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读本数各不相同)．甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是( ) A．乙甲丙丁 C．丙甲丁乙 答案 D
解析 由题意可列表格如下：
B．甲丁乙丙 D．甲丙乙丁
22 甲说 乙说 丙说 丁说
甲 乙 丙 丁 丁>乙 甲>丙 丙>丁 丙>乙 对于选项A，甲，丁说的都对，不符合只有一个人对；对于选项B，丙，丁说的都对，也不符合只有一个人对；对于选项C，乙说的对，但乙不是最少的，不符合；对于选项D，甲说的对，也正好是最少的，符合，选D. →＝→＝2，→8．(2018·河北省衡水中学模拟)已知OA点C在线段AB上，且→则→OBOC的最小值为1，OA－tOB(t∈R)的最小值为( ) A.2 B.3 C．2 D.5 答案 B
→解析 ∵→OA＝OB＝2， ∴点O在线段AB的垂直平分线上．
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→∴当C是AB的中点时|→OC|最小，此时|OC|＝1，
→的最小值为1， ∵点C在线段AB上，且OC→→
∴此时OB与OC的夹角为60°， →→
∴OA，OB的夹角为120°. →→又OA－tOB2
|→→→→
＋tOB－2tOA·OB |＝OA2
2
2
2
＝4＋4t－2t·2·2·cos 120° ＝4t＋4t＋4
2