在△BOE和△COD中，∴△BOE≌△COD（AAS）； ∴OE=OD，

∴四边形BECD是平行四边形；

，

（2）解：若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD=∠A=50°， ∵∠BOD=∠BCD+∠ODC， ∴∠ODC=100°﹣50°=50°=∠BCD， ∴OC=OD， ∵BO=CO，OD=OE， ∴DE=BC，

∵四边形BECD是平行四边形， ∴四边形BECD是矩形； 故答案为：100．

【例题3】定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°， ①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长． ②若AC⊥BD，求证：AD=CD，

AB=5，BC=9，（2）如图2，在矩形ABCD中，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题； ②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；

（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；

【解答】解：（1）①∵AB=AC=1，AB∥CD， ∴S四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=BC，

∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是正方形， ∴BD=AC=

（2）如图1中，连接AC、BD． ∵AB=BC，AC⊥BD， ∴∠ABD=∠CBD， ∵BD=BD， ∴△ABD≌△CBD， ∴AD=CD．

（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，

∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件． 若EF与BC不垂直，

①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形， ∴AE=AB=5．

②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形， ∴BF=AB=5， ∵DE∥BF，

=

．

∴DE：BF=PD：PB=1：2， ∴DE=2.5， ∴AE=9﹣2.5=6.5，

综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．

【例题4】（2017）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．

（1）如图1，当t=3时，求DF的长．

（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．

（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）当t=3时，点E为AB的中点，由三角形中位线定理得出DE∥OA，DE=OA=4，再由矩形的性质证出DE⊥AB，得出∠OAB=∠DEA=90°，证出四边形DFAE是矩形，得出DF=AE=3即可；

DN⊥AB于N，（2）作DM⊥OA于M，证明四边形DMAN是矩形，得出∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，由平行线得出比例式

，

=

，由三角形中位线

=，再

定理得出DM=AB=3，DN=OA=4，证明△DMF∽△DNE，得出由三角函数定义即可得出答案；

（3）作作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；

①当点E到达中点之前时，NE=3﹣t，由△DMF∽△DNE得：MF=（3﹣t），求出AF=4+MF=﹣t+﹣x+6，把G（

，得出G（，

，

t），求出直线AD的解析式为y=

t）代入即可求出t的值；

②当点E越过中点之后，NE=t﹣3，由△DMF∽△DNE得：MF=（t﹣3），求出AF=4﹣MF=﹣t+求出t的值即可．

【解答】解：（1）当t=3时，点E为AB的中点， ∵A（8，0），C（0，6）， ∴OA=8，OC=6， ∵点D为OB的中点， ∴DE∥OA，DE=OA=4， ∵四边形OABC是矩形， ∴OA⊥AB， ∴DE⊥AB，

，得出G（

， t），代入直线AD的解析式y=﹣

x+6