(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习 命题及其关系、充分条件与必要条件刷好题练能力(文) 下载本文

第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

1.已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是x=________. 解析:a⊥b?2(x-1)+2=0,得x=0. 答案:0

2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是________. 解析:原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数,则这个数是负数”. 答案:“若一个数的平方是正数,则这个数是负数”

3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的________条件. 解析:当a=3时A={1,3},显然A?B.但A?B时,a=2或3. 答案:充分不必要

4.已知p:“a=2”,q:“直线x+y=0与圆x+(y-a)=1相切”,则p是q的________条件.

解析:由直线x+y=0与圆x+(y-a)=1相切得,圆心(0,a)到直线x+y=0的距离|a|

等于圆的半径,即有=1,a=±2.因此,p是q的充分不必要条件.

2

答案:充分不必要

5.命题:“若x<1,则-1

解析:x<1的否定为:x≥1;-1

答案:若x≥1或x≤-1,则x≥1

6.设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的________条件.

解析:A∪B={x∈R|x<0或x>2},C={x∈R|x<0或x>2}, 因为A∪B=C,所以“x∈A∪B”是“x∈C”的充分必要条件. 答案:充分必要

7.给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中,真命题的个数是________.

解析:原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题;它的逆命题为“若函数y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数”,显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个.

答案:1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

8.对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的________条件.

解析:若y=f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x), 所以|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,

所以y=|f(x)|的图象关于y轴对称,但若y=|f(x)|的图象关于y轴对称,如y=f(x)=x,而它不是奇函数.

答案:必要不充分

9.若命题“ax-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________. 解析:由题意知ax-2ax-3≤0恒成立,当a=0时,-3≤0成立;当a≠0时,得

??a<0,? 2

?Δ=4a+12a≤0,?

2

2

2

解得-3≤a<0,故实数a的取值范围是-3≤a≤0. 答案:[-3,0]

10.已知集合A={x|y=lg(4-x)},集合B={x|x

解析:A={x|x<4},由题意得AB,结合数轴易得a>4. 答案:(4,+∞) 11.有下列几个命题:

①“若a>b,则a>b”的否命题;

②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题; ③“若x<4,则-2

解析:①原命题的否命题为“若a≤b,则a≤b”错误. ②原命题的逆命题为“x,y互为相反数,则x+y=0”正确. ③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x≥4”正确. 答案:②③

12.(2019·扬州四校联考)下列四个说法:

①一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真;

②命题“设a,b∈R,若a+b≠6,则a≠3或b≠3”是一个假命题; 11

③“x>2”是“<”的充分不必要条件;

x2

④一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真. 其中说法不正确的序号是________.

解析:①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系,故①错误;②此命题的逆否命

2

2

2

2

2

2

题为“设a,b∈R,若a=3且b=3,则a+b=6”,此命题为真命题,所以原命题也是真11112-x11

命题,②错误;③<,则-=<0,解得x<0或x>2,所以“x>2”是“<”的充分

x2x22xx2不必要条件,故③正确;④否命题和逆命题是互为逆否命题,真假性相同,故④正确.

答案:①②

13.(2019·南通数学学科基地命题)△ABC中,“角A,B,C成等差数列”是“sin C=(3cos A+sin A)cos B”成立的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)

π

解析:条件“△ABC中,角A,B,C成等差数列”?B=;结论“sin C=(3cos A3+sin A)cos B”?sin(A+B)=3cos A·cos B+sin Acos B?cos Asin B=3cos Acos

B?cos A=0或sin B=3cos B?A=或B=.所以条件是结论的充分不必要条件.

答案:充分不必要

14.已知命题p:x+2x-3>0;命题q:x>a,且綈q的一个充分不必要条件是綈p,则a的取值范围是________.

解析:由x+2x-3>0,得x<-3或x>1,由?q的一个充分不必要条件是?p,可知?p是?q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件,故a≥1.

答案:[1,+∞)

1.若a,b∈R,已知原命题是“若不等式x+ax+b≤0的解集是非空数集,则a-4b≥0”,给出下列命题:

①若a-4b≥0,则不等式x+ax+b≤0的解集是非空数集; ②若a-4b<0,则不等式x+ax+b≤0的解集是空集; ③若不等式x+ax+b≤0的解集是空集,则a-4b<0; ④若不等式x+ax+b≤0的解集是非空数集,则a-4b<0; ⑤若a-4b<0,则不等式x+ax+b≤0的解集是非空数集; ⑥若不等式x+ax+b≤0的解集是空集,则a-4b≥0.

其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写).

解析:“非空集”的否定是“空集”,“大于或等于”的否定是“小于”,根据命题的构造规则,命题的序号依次是①③②④.

答案:①③②④

2.(2019·无锡质检改编)若函数f(x)=2-(k-3)·2,则“k=2”是“函数f(x)

x2

-x2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

π

2π3

为奇函数”的________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

解析:f(x)=2-(k-3)·2?f(-x)=2-(k-3)·2,

x2

-x-x2

x因为函数f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x),则k-3=1?k=±2, “k=2”是函数f(x)为奇函数的充分不必要条件. 答案:充分不必要

3.设有两个命题p、q.其中p:对于任意的x∈R,不等式ax+2x+1>0恒成立;命题

2

2

q:f(x)=(4a-3)x在R上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题,求实数a的

取值范围.

解:若命题p为真,则当a=0时,不等式为2x+1>0,显然不能恒成立,故a=0不适合;

当a≠0时,不等式ax+2x+1>0恒成立的条件是?3

若命题q为真,则0<4a-3<1,解得

4由题意,可知p、q一真一假. 当p真q假时,a的取值范围是

??3

{a|a>1}∩?a|a≤或a≥1?={a|a>1};

4??

2

?a>0,?

2

??Δ=2-4a<0,

解得a>1.

当p假q真时,a的取值范围是

?3??3?

{a|a≤1}∩?a|

?4??4?

?3?所以实数a的取值范围是?,1?∪(1,+∞).

?4?

4.已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}. (1)求M∩P={x|5

(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5

(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5

????x-a-2?x-2

<0?,B=?x?5.已知全集U=R,非空集合A=?x??x-a<0?.

x-(3a+1)??????

2

1

(1)当a=时,求(?UB)∩A;

2