第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

1．已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是x＝________． 解析：a⊥b?2(x－1)＋2＝0，得x＝0. 答案：0

2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________． 解析：原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则这个数是负数”． 答案：“若一个数的平方是正数，则这个数是负数”

3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A?B”的________条件． 解析：当a＝3时A＝{1，3}，显然A?B.但A?B时，a＝2或3. 答案：充分不必要

4．已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x＋(y－a)＝1相切”，则p是q的________条件．

解析：由直线x＋y＝0与圆x＋(y－a)＝1相切得，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离|a|

等于圆的半径，即有＝1，a＝±2.因此，p是q的充分不必要条件．

2

答案：充分不必要

5．命题：“若x<1，则－1

解析：x<1的否定为：x≥1；－1

答案：若x≥1或x≤－1，则x≥1

6．设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的________条件．

解析：A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}， 因为A∪B＝C，所以“x∈A∪B”是“x∈C”的充分必要条件． 答案：充分必要

7．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．

解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．

答案：1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

8．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的________条件．

解析：若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)， 所以|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，

所以y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x，而它不是奇函数．

答案：必要不充分

9．若命题“ax－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知ax－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得

??a<0，? 2

?Δ＝4a＋12a≤0，?

2

2

2

解得－3≤a<0，故实数a的取值范围是－3≤a≤0. 答案：[－3，0]

10．已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合B＝{x|x

解析：A＝{x|x<4}，由题意得AB，结合数轴易得a>4. 答案：(4，＋∞) 11．有下列几个命题：

①“若a>b，则a>b”的否命题；

②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ③“若x<4，则－2

解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a≤b”错误． ②原命题的逆命题为“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确． ③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x≥4”正确． 答案：②③

12．(2019·扬州四校联考)下列四个说法：

①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；

②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题； 11

③“x>2”是“<”的充分不必要条件；

x2

④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真． 其中说法不正确的序号是________．

解析：①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命

2

2

2

2

2

2

题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真11112－x11

命题，②错误；③<，则－＝<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“<”的充分

x2x22xx2不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．

答案：①②

13．(2019·南通数学学科基地命题)△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sin C＝(3cos A＋sin A)cos B”成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)

π

解析：条件“△ABC中，角A，B，C成等差数列”?B＝；结论“sin C＝(3cos A3＋sin A)cos B”?sin(A＋B)＝3cos A·cos B＋sin Acos B?cos Asin B＝3cos Acos

B?cos A＝0或sin B＝3cos B?A＝或B＝.所以条件是结论的充分不必要条件．

答案：充分不必要

14．已知命题p：x＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是________．

解析：由x＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由?q的一个充分不必要条件是?p，可知?p是?q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥1.

答案：[1，＋∞)

1．若a，b∈R，已知原命题是“若不等式x＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a－4b≥0”，给出下列命题：

①若a－4b≥0，则不等式x＋ax＋b≤0的解集是非空数集； ②若a－4b<0，则不等式x＋ax＋b≤0的解集是空集； ③若不等式x＋ax＋b≤0的解集是空集，则a－4b<0； ④若不等式x＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a－4b<0； ⑤若a－4b<0，则不等式x＋ax＋b≤0的解集是非空数集； ⑥若不等式x＋ax＋b≤0的解集是空集，则a－4b≥0.

其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写)．

解析：“非空集”的否定是“空集”，“大于或等于”的否定是“小于”，根据命题的构造规则，命题的序号依次是①③②④.

答案：①③②④

2．(2019·无锡质检改编)若函数f(x)＝2－(k－3)·2，则“k＝2”是“函数f(x)

x2

－x2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

π

2π3

为奇函数”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

解析：f(x)＝2－(k－3)·2?f(－x)＝2－(k－3)·2，

x2

－x－x2

x因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，则k－3＝1?k＝±2， “k＝2”是函数f(x)为奇函数的充分不必要条件． 答案：充分不必要

3．设有两个命题p、q.其中p：对于任意的x∈R，不等式ax＋2x＋1>0恒成立；命题

2

2

q：f(x)＝(4a－3)x在R上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，求实数a的

取值范围．

解：若命题p为真，则当a＝0时，不等式为2x＋1>0，显然不能恒成立，故a＝0不适合；

当a≠0时，不等式ax＋2x＋1>0恒成立的条件是?3

若命题q为真，则0<4a－3<1，解得

4由题意，可知p、q一真一假． 当p真q假时，a的取值范围是

??3

{a|a>1}∩?a|a≤或a≥1?＝{a|a>1}；

4??

2

?a>0，?

2

??Δ＝2－4a<0，

解得a>1.

当p假q真时，a的取值范围是

?3??3?

{a|a≤1}∩?a|

?4??4?

?3?所以实数a的取值范围是?，1?∪(1，＋∞)．

?4?

4．已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}． (1)求M∩P＝{x|5

(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5

(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5

????x－a－2?x－2

<0?，B＝?x?5．已知全集U＝R，非空集合A＝?x??x－a<0?.

x－（3a＋1）??????

2

1

(1)当a＝时，求(?UB)∩A；

2