又对 P'（x,y），有

x?X?rsin(θ?φ) y?Y?rcos(???)

10'其中??arctan(f(x0))，???1?f'(x)dx。所以，饰物的运动轨迹方程为

R0x?x0?Rf'(x0)1?f(x0)'2x?rsin(???)

y?f(x0)?R1?f(x0)'2?rcos(???)

①取 f(x)=0 ,则有??x0R,??0，这时饰物的运动轨迹方程为:

x?x0?rsin(x0R) y?R?rcos(x0R)

②取f(x)?0.2?0.2x ，则有

21 ??Rx0?01?(?0.4x)2dx,??arctan(?0.4x0)

这时饰物的运动轨迹方程为：

x?x0?20.4Rx01?(?0.4x0)R2?rsin(???)

y?0.2?0.2x0?1?(?0.4x0)2?rcos(???)

③取f(x)?0.3sinx，则有

10 ???1?(0.3cosx)2dx,??arctan(0.3cosx0)

R0这时饰物的运动轨迹方程为：

xx?x0?0.3Rcosx01?(0.3cosx0)2?rsin(???)

y?0.3sinx0?

程序如下：

clear;

%第（1）类情况的实现

x0=0:0.01:2;R=0.1;r=0.075;

R1?(0.3cosx0)2?rcos(???)

x1=x0-r*sin(x0/R); %计算f(x)=0ship点的运动轨迹 y1=R-r*cos(x0/R); subplot(3,1,1);

plot(x1,y1,x0,0); %绘制运动轨迹曲线和f(x曲线) xlabel('x1');ylabel('y1');grid on %第（2）类情况的实现

x0=-1:0.01:1;R=0.1;r=0.1;

y0=0.2-0.2*x0.^2; %计算路面曲线 fai=atan(-0.4*x0); %求?

int=inline('sqrt(1+(-0.4*x).^2)'); %定义?的积分函数 for k=1:length(x0)

theta1(k)=quad(int,0,x0(k))/R; %调用quad的函数求? end

x2=x0+R*0.4*x0./sqrt(1+(-0.4*x0).^2)-r*sin(theta1-fai); %运动轨迹方程 y2=y0+R./sqrt(1+(-0.4*x0).^2)-r*cos(theta1-fai); subplot(3,1,2);

plot(x2,y2,x0,y0) %绘制运动轨迹曲线和f(x)曲线 xlabel('x2');ylabel('y2');grid on %第（3）类情况的实现

x0=0:0.01:10;R=0.1;r=0.075;

y0=0.3*sin(x0); %计算路面曲线 fai=atan(0.3*cos(x0)); %求?

int=inline('sqrt(1+(0.3*cos(x)).^2)'); %定义?的积分函数

for k=1:length(x0)

theta2(k)=quad(int,0,x0(k))/R; %调用quad的函数求?end

%p点运动轨迹方程

x3=x0-0.3*R*cos(x0)./sqrt(1+(0.3*cos(x0)).^2)-r*sin(theta2-fai); y3=0.3*sin(x0)+R./sqrt(1+(0.3*cos(x0)).^2)-r*cos(theta2-fai); subplot(3,1,3); plot(x3,y3,x0,y0)

xlabel('x3');ylabel('y3');grid on

运行程序得如下图所示的曲线图。

图 3 自行车饰物运行曲线

例 3 广告费用与效应。某装饰材料公司欲以每桶 2 元的价钱购进一批彩漆。一般来说，随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，见表 1。

表 1 售价与预期销售量

售价（元） 预期销售量（桶） 售价（元） 预期销售量（桶） 2.00 41000 2.50 38000 3.00 34000 3.50 32000 4.00 29000 4.50 28000 5.00 25000 5.50 22000 6.00 20000 为了尽快收回资金并获得较多的赢利，装饰材料公司打算做广告。投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。例如，投入40000元的广告费，销售增长因子为 1.95，即销售将是预期销售量的 1.95 倍。根据经验，广告费与销售增长因子的关系见表 2 。

表 2 广告费与销售增长因子

广告费（元） 销售增长因子 广告费（元） 销售增长因子 0 1.00 10000 1.40 20000 1.70 30000 1.85 40000 1.95 50000 2.00 60000 1.95 70000 1.80 现在的问题是装饰材料公司采取怎样的营销战略使得预期的利润最大？

设 x 表示售价（单位：元），y 表示预期销售量（单位：桶），z 表示广告费（单位：元），k 表示销售增长因子。投入广告费后，实际销售量记为 s ，获得的利润记为 p（单位：元）。

预期销售量 y 随售价 x 的增加而减小,可近似用线性关系表示

y?a0?a1x (1)

其中，a0 和 a1 是待定常数。

销售增长因子 k 随广告费用 z 先增后减，可用二次方程表示

k?b0?b1z?b2z2 (2)

其中，b0，b1 和 b2 也是待定常数。待定常数可根据表中数据拟合。 投入广告费之后，实际销售量为

s?ky (3)

利润是收入减支出，收入是售货单价 x 乘以销售量 s ；支出包括成本和广告费，成本是进货单价2乘以销售量 s 。因此利润为

p?sx?2s?z?ky(x?2)?z?(b0?b1z?b2z2)(a0?a1x)(x?2)?z (4)

这是二元函数，求最大利润就是二元函数的最大值。令

?P?P?0，?0 ?x?z即