第一讲 整数四则混合运算

的简便运算

知识点拨

一、

整数四则运算定律

（1） 加法交换律：a?b?b?a

（2） 加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c) （3） 乘法交换律：a?b?b?a

（4） 乘法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

（5） 乘法分配律：a?(b?c)?a?b?a?c；(b?c)?a?b?a?c?a （6） 减法的性质：a?b?c?a?(b?c) （7） 除法的性质：a?(b?c)?a?b?c；

（8） 除法的“左”分配律：(a?b)?c?a?c?b?c；(a?b)?c?a?c?b?c，这里尤其

要注意，除法是没有“右”分配律的，即c?(a?b)?c?a?c?b是不成立的！ 备注：上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．

二、 加减法中的速算与巧算

速算巧算的核心思想和本质：凑整。常用的思想方法总结如下：

（1） 分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去

那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千??，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．

（2） 加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．

三、乘法凑整

思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相

乘，使得运算简便。例如：4?25?100，8?125?1000，5?20?100

理论依据：乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b) ×c=a×(b×c) 乘法分配律：(a+b) ×c=a×c+b×c

1

积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)

四、乘、除法混合运算的性质

⑴商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即： a?b?(a?n)?(b?n)?(a?m)?(b?m)　　m?0，n?0

⑵在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a?b?c?a?c?b

⑶在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）．

例如：a?b?c?a?c?b?b?c?a

⑷在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则

去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即

a?(b?c)?a?b?c　　　a?(b?c)?a?b?c ②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即

a?(b?c)?a?b?c　　　a?(b?c)?a?b?c

添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符

号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即a?b?c?(a?　　　)b?c?a(?b?c?a?bc

a?b?c?(a?　　　)b?c?a(?b?c)?a?bc⑸两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即

(a?b)?(c?d)?(a?c)?(b?d)?(a?d)?(b?c) 上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．

例题精讲

一、加法

【例1】：278+463+22+37

举一反三：732+580+268

二、减法

【例2】：2871-299

2

举一反三：

（1）157-99 （2）363-199 （3）968-599

三、连减（5种）

【例3】：528－53－47

举一反三：

（1）489－134－76 （2）470－254－46

【例4】：496－（296＋144）

举一反三：

（1）675－（175＋89） （2）466－（66＋125）

【例5】：496－（144＋296）

举一反三：

（1）675－（89＋175） （2）466－（125＋66）

3

3）545－167－133 （3）354－（154＋77） （3）354－（77＋154） （

【例6】：528－72－28

举一反三：

（1）489－77－389 （2）465－267－65 （3）545－167－145

【例7】：824－224－176－124

举一反三：

（1）643－164－133－243 （2）487－187－139－61 （3）545－167－145

四、乘法分配律（8种）

【例8】：计算：125×（80＋32） （24＋40）×25

举一反三： （1）125×（64＋80） （2）（80＋32）×125 （3）（16＋32）×25

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