2.2.2约束最小平方复原法
约束最小平方复原是一种以平滑度为基础的图像复原方法。如前所述，在进行图像恢复计算时，由于退化算子矩阵H[.]的病态性质，多数在零点附近数值起伏过大，使得复原后的图像产生了多余的噪声和边缘。约束最小平方复原仍然是以最小二乘方滤波复原公式为基础， 通过选择合理的Q，并优化Qf掉被恢复图像的这种尖锐部分，即增加图像的平滑性。
?2?2我们知道，图像增强的拉普拉斯算子?f?(2?2)，它具有突出边缘的
?x?v22，从而去
作用， 然而???2fdxdy则恢复了图像的平滑性，因此，在作图像恢复时可将其作为约束，现在的问题是如何将其表示成Qf2的形式。
在离散情况下，拉普拉斯算子可用下面的差分运算实现：
?2f(x.y)?2f(x,y)（?)?x2?y2?f(x?1,y)?2(x,y)?f(x?1,y)?f(x,y?1)?2f(x,y)?f(x,y?1)
?f(x?1,y)?f(x?1,y)?f(x,y?1)?f(x,y?1)?4f(x,y) (2-33)
利用f(x,y)与下面的模板算子进行卷积可实现上面的运算：
?010?? (2-34) 1?41p(x,y)??????010??在离散卷积的过程中，可利用延伸f(x,y)和p(x,y)来避免交叠误差。延伸后的函数为pe(x,y)。建立分块循环矩阵，将平滑准则表示为矩阵形式：
?C1?C2C??????CM?1C0C1?CM?2CM?1?C2?C0?C3?? (2-35) ????CM?3?C0?式(2-35)中每个子矩阵Cj (j?0,1,...,M?1)是pe(x,y)的第j行组成的N*N循环矩阵。即Cj如下表示：
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Pe(j,N?1)?Pe(j,1)??Pe(j,0)?P(j,1)?P(j,0）?P(j,2)eee? (2-36) Cj???????????Pe(j,N?1)Pe(j,N?2)?Pe(j,0)?根据循环矩阵的对角化可知，可利用前述的矩阵W进行对角化，即
E?W?1CW (2-37)
式中，E为对角矩阵，其元素为
??k???P?,kMODNE(k,i)????N??0??i?ki?k (2-38)
所以
??N2H*(u,v)?G(u,v) F(u,v)??2224??NH(u,v)??NP(u,v)??^??H*(u,v)?G(u,v) (2-39) ??2222??NH(u,v)??NP?u,v???式中，u，v?0,1,...,N?1，而且H(u,v)?H*(u,v)H(u,v)。本滤波器也称为最小平方滤波器。
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3 维纳滤波实现对退化图像的复原
3.1 维纳滤波的基本原理
维纳(Wiener)滤波是用来解决从噪声中提取信号问题的一种过滤(或滤波)的方法。实际上这种线性滤波问题，可以看成是一种估计问题或一种线性估计问题。
一个线性系统，如果它的单位样本响应为h(n)，当输入一个随机信号x(n)，且
x(n)?s(n)?v(n) (3-1) 其中s(n)表示信号，v(n)表示噪声，则输出y(n)为
y(n)??h(m)x(n?m) (3-2)
m我们希望x(n)通过线性系统h(n)后得到的y(n)尽量接近于s(n),因此称y(n)为s(n)的估计值，用s(n)表示，即
y(n)?s(n) (3-3)
?
?
图3-1 维纳滤波器的输入一输出关系
如图3-1所示。这个线性系统h(n)称为对于s(n)的一种估计器。
实际上，式(2-2)的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值x(n),
x(n?1),x(n?2)…x(n?m),…来估计信号的当前值s(n)。因此，用h(n)进行过
?
滤的问题可以看成是一个估计问题。由于我们现在涉及的信号是随机信号，所以这样一种过滤问题实际上是一种统计估计问题。
一般，从当前的和过去的观察值x(n),x(n?1),x(n?2)…估计当前的信号
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?
值y(n)?s(n)称为过滤或滤波;从过去的观察值，估计当前的或将来的信号值
y(n)?s(n?N) (N?0)称为预测或外推;从过去的观察值，估计过去的信号值y(n)?s(n-N)(N?1)称为平滑或内插。因此维纳过滤又常常被称为最佳线性过
??滤与
预测或线性最优估计。这里所谓最佳与最优是以最小均方误差为准则的。这里只讨论过滤与预测问题。
如果我们以:与s分别表示信号的真值与估计值，而用e(n)表示它们之间的误差，即
e(n)?s(n)?s(n) (3-5) 显然，e(n)可能是正的，也可能是负的，并且它是一个随机变量。因此，用它的均方值来表达误差是合理的，所谓均方误差最小即它的平方的统计平均值最小:
2^?????? Ee(n)min?E??s(n)?s(n)?? (3-6)
??????min?
?2? 采用最小均方误差准则作为最佳过滤准则的原因还在于它的理论分析比较简单，不要求对概率的描述。并且在这种准则下导出的最佳线性系统对其它很广泛一类准则而言也是最佳的。
3.2 维纳滤波对退化图像的恢复
维纳滤波是一种有约束的复原恢复，它综合了退化图像和噪声统计特性两个方面进行了复原处理。维纳滤波，它是使原图像f(x,y)及其恢复图像f(x,y)之间的均方差最小的复原方法，即：
2^??????E??f(x,y)?f(x,y)???min (3-7) ??????^.为数学期望算子。式中，E??因此，维纳滤波器通常又叫最小均方差滤波器。
很容易推到出原始图像的傅里叶变换估计为： F(u,v)?Hw(u,v)G(u,v)
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