r设平面PBD的法向量为n?(x,y,z)，

ruuur???n?BP?0,??3y?3z?0,则?ruuu，即?， ························· 9分 r???n?BD?0?2x?23y?0r令z?1，则平面PBD的一个法向量为n?(3,3,1)， ·················· 10分 ur依题意，平面PBC的一个法向量m?(1,0,0)， ····················· 11分

urrurrm?n313所以cos?m,n??u， rr?13mn故二面角C?PB?D的余弦值为313． ························ 12分 1319．本题考查离散型随机变量分布列及其期望、频率分布直方图、样本估计总体、回归分析、函数与导数

等知识；考查学生的阅读理解能力、数据处理能力和运算求解能力；考查统计与概率思想、函数与方程思想、化归与转化思想、创新意识和应用意识．满分12分．

解：（1）设每件产品的销售利润为?元，则?的所有可能取值为1.5、3.5、5.5，

由直方图可得，一、二、三等品的频率分别为0.4、0.45、0.15，

所以，P??=1.5?=0.15，P??=3.5?=0.45，P??=5.5?=0.4， ············ 2分

所以随机变量?的分布列为：

? P 1.5 0.15 3.5 0.45 5.5 0.4 所以，E??1.5?0.15?3.5?0.45?5.5?0.4?4．

故每件产品的平均销售利润为4元．························· 4分 （2）（i）由y＝a?x得，lny?lna?xb?lna?blnx， 令u?lnx,v?lny,c?lna，则v?c?bu，

b???=由表中数据可得，b??u?u??v?v?iii?15??i?15ui?u?2?0.41?0.25， ················ 6分 1.64??24.87?0.25?16.30?4.159， 则c······················ 7分 ?=v?bu55 - 9 -

?4.1591???4.159?0.25lnx?ln?e?x4?， ??4.159?0.25u，即lny所以，v??因为e4.159??64x， ?64，所以y1414故所求的回归方程为y?64x． ·························· 8分 （ii）设年收益为z万元，则z??E???y?x?256x?x， ················ 9分 设t?x，f?t??256t?t，则f'?t??256?4t3?464?t3，

41414??当t??0,4?时，f'?t??0，f?t?在?0,4?单调递增；

当t??4,???时，f'?t??0，f?t?在?4,???单调递减． ··············· 11分 所以，当t?4，即x?256时，z有最大值为768，

即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元． ······· 12分

20．本题考查直线的方程、直线与椭圆的位置关系等知识；考查运算求解能力、推理论证能力等；考查数

形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．满分12分．

解法一：（1）设A?x0,y0??y0?0?,因为OA?5，所以x0?y0?5，①

22x02y02??1，② ······················· 2分 又因为点A在椭圆上，所以49?45,?x0??5由①②解得，?，或

?y?350?5??45,?x0???4535??5，所以的坐标为或,A?????5??5?y?350?5??4535?， ···································· 3分 ???5,5????又因为F的坐标为0,5，所以直线AF的方程为y????11x?5或y?x?5． ······ 5分 22（2）当A在第一象限时，直线AF:y??1x?5， 2?x12y12??1,??49设M?x1,y1?,N?x2,y2?，则?， 22?x2?y2?1?9?4

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两式相减得

?x1?x2??x1?x2???y1?y2??y1?y2??0，

49因为

MN不过原点，所以

?y1?y2???y1?y2???9?x1?x2??x1?x2?4，即kMNkOP??9，同理：49kABkOQ??，

4又因为O,P,Q在同一直线上，所以kOP?kOQ，所以kMN?kAB??1， ··········· 8分 2设直线MN:y??1x?m， 2?x2y2??1,??4922由?得，5x?2mx?2m?18?0，由??0，得?10?m?10， ?y??1x?m??22m2m2?18,x1x2?, ····················· 9分 由韦达定理得，x1?x2?55?1?2所以MN?1?kx1?x2?1?????2?又因为O到直线MN的距离d?2?x1?x2?2?4x1x2?35?10?m2， 5m1?14?2m， 5所以S?OMN133m2?10?m22?MN?d?m10?m???3

552222当且仅当m?10?m，即m??5时等号成立，

所以?OMN面积的最大值为3. ····························· 11分 当A在第二象限时，由对称性知，?OMN面积的最大值也为3.

综上，?OMN面积的最大值为3. ···························· 12分 解法二：（1）同解法一；·································· 5分 （2）当点A在第一象限时，直线AF:y??1x?5 2 - 11 -

?x2y2??1,??595??429,由?得，5x?25x?8?0，则AB中点Q的坐标为??， ······ 6分

?510??y??1x?5??2所以直线OQ:y?9x， 2①当直线MN斜率不存在或斜率为零时，O,P,Q不共线，不符合题意；

②当直线MN斜率存在时，设MN：y?kx?m?k?0?，M?x1,y1?,N?x2,y2?，

?x2y2???1,22222由?4得，(9?4k)x?8kmx?4m?36?0，由??0，得m?4k?9， 9?y?kx?m?8km4m2?36,x1x2?由韦达定理得，x1?x2??，

9?4k29?4k2所以y1?y2?k?x1?x2??2m?18m， ······················· 7分

9?4k2y1?y2991???，解得k??， ··········· 9分

x1?x24k22因为O,P,Q在同一直线上，所以

2m2m2?18,x1x2?,?10?m?10， 所以x1?x2?55?1?2所以MN?1?kx1?x2?1?????2?又因为O到直线MN的距离d?2?x1?x2?2?4x1x2?35?10?m2， 5m1?14?2m， 5所以S?OMN?21333MN?d?m10?m2?m2?10?m2????m2?5??25 2555当m2?5,即m??5时，?OMN面积的最大值为3，

所以?OMN面积的最大值为3. ····························· 11分 当A在第二象限时，由对称性知，?OMN面积的最大值也为3.

综上，?OMN面积的最大值为3. ···························· 12分

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