1??3xcos??r?r?????p?p3x2?r2p2x2?y22Ex(x,y)??. ???5454??0?rr4??02?4??0x?y2?2???同理,有
Ey(x,y)?q?sin?2sin?1?qy?11????????
4??0?r?2r?2?4??0?r?3r?3? ?q4??0y?r??r???r?2?r?r??r?2?r6?q3ylcos?p?4??0r44??03xy?x2?y522。
?11-7 用电场叠加原理求电量为Q,半径为R的均匀带电球面的电场.
解: 均匀带电球面的电场可看成许多垂直于球面直径的均匀带电圆环的电场的叠加,如右图所示, 其中一个均匀带电圆环对到球心距离为r的一点的电场强度的贡献是
dE??r?Rcos??dq4π?0??r?Rcos???R2sin2????232,
其中的dq?Qsin?d?是圆环上的电量. r 2r点处的电场强度是
QE(r)?8π?0??0?r?Rcos??sin?d???r?Rcos??2?R2sin2????32 题11-7图
作变量代换,令u?r?Rcos?,得
QE(r)??R8π?0Rr?用分部积分法,得
r?Rudu22??R?r?2ru??32.
?Q?E(r)?1?28π?0r??R?r?R?r?2??. ??当r?R时,
R?r?R?r?R?r2?1, E(r)?0; QR?r??1, E(r)?. 24π?rr?R0当r?R时,
?R?r?2?11-8用电场强度叠加原理求证无限大均匀带电板外一点电场强度大小为
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E?? 2?0解： 见例题11-3-3
11-9一个半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为?，求球心出电场强度的大小。
解：如图所示, 半球面上半径为r的均匀带电圆环对球心O处场强的贡献是
xdqdE?i, 34π?0(x2?r2)2其中x?Rsin?,r?Rcos?,dq??2?rdl,dl?Rd?, 于是有 dE?积分,得
?sin?co?ds?i, 2?0???2?ii sin?cos?d?E??4?02?0011-10带电粒子在均匀电场中运动时，若带电粒子的初速度为?0与电场强度
E之间的夹角为?（0????）.试证明粒子的运动轨迹为抛物线.在什么情况下，
此抛物线退化为直线？
解：粒子的运动方程是
x??0cos?t?y??0sin?t.qE2t,2m
轨迹方程是 x?qE2m??0si?n?2y2?ctg?y,
此为抛物线. 当??0或?时, 抛物线退化为直线.
11-11两条相互平行的无限长均匀带电线，电荷相反，相聚为a，电荷线密
度为?.（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度（设该地按摩到其中一线的垂直距离为x）；（2）求每一根导线上单位长度导线所受另一根导线上的电荷的作用力.
解:
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???2??0x2??0(a?x)a??????????2??0x(a?x)
????E?2??0a2?F?qE?2??0a11-12匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的轴平行.试计算此半球面(1)E?的电通量。
解：
??E?S??R2E
11-13一个2.0?10?7C的点电荷处在一边长为0.2m的立方形高斯面的中心，此高斯面的电通量是多少？
解： ??E?dS?SQ?0?2.2?6104Nm2C/
11-14两个均匀带点的同心球面，半径分别为0.1cm和0.3cm，小球带电
?8?81.0?10C，大球面带电1.5?10C。求分别里求新0.05m、0.2m和0.5m处的电场
强度.这两个带电球面产生的电场强度是否为到求新距离的连续函数？
解:
当r?0.05m时,??E?ds?0 E?0; 当r?0.2m时, ??E?ds?Q?0, E?4?r2?Q?0, E?2.25?103Vm;
当r?0.5m时, ??E?ds?不是连续函数.
Q1?Q2?0, E?9?102Vm,
11-15两个带等量异电荷的无限长同轴柱面，半径分别为R1和R2，R2?R1，单位长度上的电荷量为?，求离轴线为r处的电场强度：（1）（2）R1?r?R2r?R1（3）r?R2.
解：当r?R1时, ??E?ds?0, E?0;
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当R1?r?R2时, ??E?ds?Q?QQ?0, E?2?r?L?L??0,E??; 2??0r当r?R2时, ??E?ds??0?0, E?0.
11-16如图所示，一质量为1.0?10?6kg的小球，带电量
+ 为2.0?10?11C，悬于一丝线下端，线与一块很大的带电平 + + +板成30角. 求此带电平板的电荷密度.
+ 解： + m +q mgtan300?qE?q?2?0
??5.0?10?6Cm211-17 两无限长带异号电荷的同轴圆柱面，内半径为2.0?10?2m，外半径为
4.0?10?2m，单位长度的电量为3.0?10?8C?m?1，一电子在两圆柱之间，沿半径
为3.0?10?2m的圆周路径匀速旋转. 问此电子的动能为多少？
解：
??E?ds?Q?0, E?? 2??0rVF?qE?m,
rW?11??4.32?10?17J. mV2?Fr?224??0211-18求距电偶极子中心为r处的电势.
解: 取V??0, 图中P(x,y)点的电势是 y VP?q?11?qr??r??? r? r r? ??4π?0?r?r??4π?0r?r?2由于r??l,?1??2??，有r??r??lcos?,r?r??r ?q O ?q x 于是得, 题11-18图
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