第五、六章自测题标准答案

1. 判断题

(1) 当且仅当一个连续时间线性时不变系统的阶跃响应是绝对可积的，则该系统是稳定的。 （ × ） (2) 若h(t)是一个线性时不变系统的单位冲激响应，并且h(t)是周期的且非零，则系统是非稳定的。 （ √ ） (3) 对于一个因果稳定的系统，可以利用H(j?)?H(s)|s?j? 求系统的频率响应。 （ √ ） (4) 一个稳定的连续时间系统，其系统函数的零极点都必定在s平面的左半平面。

（ × ） 2．填空题

（1）某二阶系统起始状态为r(0_)??1,r'(0_)?2；初始条件为r(0?)?3,r'(0?)?1,则确定零输入响应待定系数的初始条件为rzi(0?)= -1 ，r'zi(0?)= 2 ；而确定零状态响应待定系数的初始条件为 rzs(0?)= 4 ，r'zs(0?)= -1 。

e?s（2）F(s)?2的逆变换为 [e?(t?1)?e?2(t?1)]?(t)。

s?3s?2?t??)?(t)的拉普拉斯变换为F(s)?cos??（3）f(t)?sin(3．求图5-1中所示单边周期信号的拉氏变换。

?s2??2?sin??s。

s2??2f(t)…TT 2T t0 2

T3T)??(t?T)??(t?)?? 22T?s2

图5-1

解：f(t)??(t)??(t?T?A(1?e?A??(t)??(t?)??2?s?)

F(s)?A(1?e)?s(1?e?sT)T?s2As(1?eT?s2

)1

4．一个单位冲激响应为h(t)的因果LTI系统有下列性质： （1）当系统的输入为x(t)?e2t时，对所有t值，输出y(t)?12te。 6（2）单位冲激响应h(t)满足微分方程

dh(t)?2h(t)?e?4t?(t)?b?(t)。这里b为一个未知dt常数。

确定该系统的系统函数。

解：本题中用到了特征函数的概念。一个信号，若系统对该信号的响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则该信号为系统的特征函数。（请注意：上面所指的系统必须是线性时不变系统。）

因为x(t)?e2t是因果LTI系统的特征函数，所以y(t)?H(s)|s?2?e2t?12te。即 6 H(s)|s?2?1 6对所给的微分方程两边取拉普拉斯变换，得 sH(s)?2H(s)?1b? s?4s H(s)?将s=2代入上式，得

s?b(s?4)

s(s?2)(s?4) H(2)?所以

H(s)?12?6b?， b=1 62?4?62, Re(s)?0

s(s?4)5．已知系统微分方程为y''(t)?3y'(t)?2y(t)?2f'(t)?f(t)，输入为（1）求系统的系统函数和单f(t)?2e?3t?(t)，系统的起始条件为y(0?)?1,y'(0?)?1，

位冲激响应；（2）求系统的零输入响应，零状态响应，完全响应，自由响应和强迫响应。 解：（1）H(s)?2s?13?1??

s2?3s?2s?2s?1?2t冲激响应h(t)?(3e（2）零输入响应

?e?t)?(t)

rzi(t)?A1e?2t?A2e?t t?0

2

??A1??2 ????2A1?A2?1??A2?3所以 rzi(t)?(?2e?2t?3e?t)?(t) (3) 零状态响应

Rzs(s)?E(s)H(s)?A1?A2?12s?12?16?5 ????(s?1)(s?2)s?3s?1s?2s?3所以 rzs(t)?(6e?2t?e?t?5e?3t)?(t)

完全响应 r(t)?rzi(t)?rzs(t)?(4e?2t?2e?t?5e?3t)?(t) 自由响应：(4e?2t?2e?t)?(t) 强迫响应：?5e?3t?(t)

6．某反馈系统如图5-2所示，已知子系统的系统函数为G(s)?（1）为使系统稳定，实系数k应满足什么条件； （2）若系统为临界稳定，求k及单位冲激响应h(t)。 E(s) + R(s) G(s) Σ

+

k

图5-2 解：H(s)?s。试确定

s2?5s?6R(s)G(s)s??2 E(s)1?kG(s)s?5s?ks?6 为使系统稳定，k<5

k=5时，系统临界稳定，此时 h(t)?cos6t??(t) 7. 系统如图5-3所示，激励为i1(t),

响应为i2(t). (1) (2)

求系统函数H(s); 若i1(t)=2A,求i2(t)。

已知R1=R2=1Ω,C=1F,L=1H . i2(t) i1(t) _ R1 C 图5-3 R2 L I(s)解：（1）H(s)?2?I1(s)R1?1sC1R1??R2?sLsC3

?1 s?112

s?1s （2）I2(s)?H(s)I1(s)? i2(s)?(2?2e?t)?(t)

8．已知一线性时不变系统激励为f(t)?(e?t?e?3t)?(t), 系统响应为y(t)?(2e?t?2e?4t)?(t)，求： (1)系统的单位冲激响应h(t); (2)系统激励-响应微分方程。

22?Y(s)s?1s?43s?9解答：（1）H(s)? ??11F(s)(s?2)(s?4)?s?1s?3 h(t)?L[H(s)]??13?2t(e?e?4t)?(t) 2 （2）系统的激励-响应微分方程

y''(t)?6y'(t)?8y(t)?3f'(t)?9f(t)

9．已知一LTI系统函数H(s)的零点z=1,极点p=-1,且冲激响应初值h(0?)?2，试求： （1）系统函数H(s);

(2)系统的幅频特性H(ω),相频特性φ(ω)；

（3）若激励e(t)?3sin3t??(t)，求系统稳态响应。 解：（1）h(0?)?limsH(s)?2

s?0 H(s)?2(s?1) 2(s?1)2(j??1)

(j??1)2 （2）H(j?)? H(j?)?21??2

?(?)??arctan??arctan2? 21??（3）将??3代入H(j?)和?(?), 求得系统的稳态响应为ys(t)?3sin3t

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