折起，使点在平面内的射影恰好在上（图2）.

（Ⅰ）证明：平面；

，当点在线段

上运动时，求三棱锥

的体积.

（Ⅱ）若点在线段上，且

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）3 【解析】 【分析】

（Ⅰ）利用点在平面

，从而证得（Ⅱ）求出点到底面

内的射影恰好在，命题得证。 的距离，利用

，垂足为.

计算，问题得解。

上，过P作AD的垂线段PO，由此证得

，再计算出

，

【详解】解：（Ⅰ）过点作

由于点在平面∴∴∵四边形又∴又由又∴

. ，，∴平面

.

平面.

.

内的射影恰好在上，

为矩形，∴，∴

平面

. ，

，可得，同理，∴

. ，且

，

（Ⅱ）设点到底面

的距离为，

则由∴又∴

，可知

， .

.

， .

【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质、线面垂直的判定，考查了转化思想，体积计算，考查计算能力，属于基础题。 20.已知椭圆

.

(1)求椭圆的标准方程； (2)已知

分别是椭圆的左、右顶点，过的直线交椭圆于

两点，记直线

的交点为，是否存在

的左、右焦点分别为

且椭圆上存在一点，满足

一条定直线，使点恒在直线上? 【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）对三角形（2）设

，

应用余弦定理即可求得，

，利用

，结合椭圆定义求得，问题得解。 及

列方程，整理得：

，由

（2）存在，点在定直线

上

整理得：，从而表示出，联立直线与椭圆方程，

由韦达定理得：，代入上式得：，解得：，问题得解.

【详解】（1）设，则内，

由余弦定理得化简得故∴

，得

，解得， ，

.

，设，① ，②

两式相除得

.

，，

，

所以椭圆的标准方程为（2）已知由

，

，，

又，

故，

故，③

设得

的方程为，代入，

整理，

恒成立.

把代入③，

得，

得到，故点在定直线上.

【点睛】本题主要考查了余弦定理及椭圆的定义、简单性质，还考查了两点斜率公式及转化思想，还考查了韦达定理及方程思想，考查计算能力，属于中档题。 21.设函数

.

(1)求函数(2)若

的极值点个数；

，证明

.

【答案】（1）2个（2）详见解析 【解析】 【分析】 (1)由

是奇函数，把问题转化成

正负来处理，求出

上存在唯一的使

(2)利用（1）中的结论可知：

【详解】解：（1）因为

.在

的极值点个数问题，求出，判断

，把

的正负问题转化成

的单调性，结合函数零点判断方法即可判断在区间

，问题得解。 内恒成立.令

，可将问题转化成

上不存在使得

在区间

，问题得证。

为奇函数，其图像关于原点对称，所以只需考虑，

时，

上的极值点个数，

.

令，，

∴当当∴取

，

时，时，.

，，

单调递减， 单调递增，

，

上存在唯一的使上单调递减，在区间

.

上单调递增.

∴在区间∴又∴∴

在区间

为奇函数， 在区间

上单调递增，在区间

上单调递减，在区间

上单调递增，

的极值点共2个.

在区间

内单调递减，且

恒成立.

（2）由（1）可知