湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试(一模)数学(文)试题(含解析) 下载本文

折起,使点在平面内的射影恰好在上(图2).

(Ⅰ)证明:平面;

,当点在线段

上运动时,求三棱锥

的体积.

(Ⅱ)若点在线段上,且

【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)3 【解析】 【分析】

(Ⅰ)利用点在平面

,从而证得(Ⅱ)求出点到底面

内的射影恰好在,命题得证。 的距离,利用

,垂足为.

计算,问题得解。

上,过P作AD的垂线段PO,由此证得

,再计算出

【详解】解:(Ⅰ)过点作

由于点在平面∴∴∵四边形又∴又由又∴

. ,,∴平面

.

平面.

.

内的射影恰好在上,

为矩形,∴,∴

平面

. ,

,可得,同理,∴

. ,且

(Ⅱ)设点到底面

的距离为,

则由∴又∴

,可知

, .

.

, .

【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质、线面垂直的判定,考查了转化思想,体积计算,考查计算能力,属于基础题。 20.已知椭圆

.

(1)求椭圆的标准方程; (2)已知

分别是椭圆的左、右顶点,过的直线交椭圆于

两点,记直线

的交点为,是否存在

的左、右焦点分别为

且椭圆上存在一点,满足

一条定直线,使点恒在直线上? 【答案】(1)【解析】 【分析】 (1)对三角形(2)设

应用余弦定理即可求得,

,利用

,结合椭圆定义求得,问题得解。 及

列方程,整理得:

,由

(2)存在,点在定直线

整理得:,从而表示出,联立直线与椭圆方程,

由韦达定理得:,代入上式得:,解得:,问题得解.

【详解】(1)设,则内,

由余弦定理得化简得故∴

,得

,解得, ,

.

,设,① ,②

两式相除得

.

,,

所以椭圆的标准方程为(2)已知由

,,

又,

故,

故,③

设得

的方程为,代入,

整理,

恒成立.

把代入③,

得,

得到,故点在定直线上.

【点睛】本题主要考查了余弦定理及椭圆的定义、简单性质,还考查了两点斜率公式及转化思想,还考查了韦达定理及方程思想,考查计算能力,属于中档题。 21.设函数

.

(1)求函数(2)若

的极值点个数;

,证明

.

【答案】(1)2个(2)详见解析 【解析】 【分析】 (1)由

是奇函数,把问题转化成

正负来处理,求出

上存在唯一的使

(2)利用(1)中的结论可知:

【详解】解:(1)因为

.在

的极值点个数问题,求出,判断

,把

的正负问题转化成

的单调性,结合函数零点判断方法即可判断在区间

,问题得解。 内恒成立.令

,可将问题转化成

上不存在使得

在区间

,问题得证。

为奇函数,其图像关于原点对称,所以只需考虑,

时,

上的极值点个数,

.

令,,

∴当当∴取

时,时,.

,,

单调递减, 单调递增,

上存在唯一的使上单调递减,在区间

.

上单调递增.

∴在区间∴又∴∴

在区间

为奇函数, 在区间

上单调递增,在区间

上单调递减,在区间

上单调递增,

的极值点共2个.

在区间

内单调递减,且

恒成立.

(2)由(1)可知