∴点A的坐标（5，0）． （Ⅲ）2+或2+3

如图2，∵∠DOG=∠DGO，∠ODC=∠OCD，∠ODC=∠DOG+∠DGO， ∴∠OCG=2∠CGO， ∴∠CGO=30°，

∵△GAH是等腰三角形， ∴∠FAB=60°，

在RT△ABF中，BF=3， ∴OF=

×3=

，

∵OF=BC=2， ∴OA=2+， ∴a=2+，

如图3所示，∵∠ODG=∠GOD=∠OCD，∠OGC=∠ODG+∠GOD， ∴∠OGC=2∠OCD， ∴∠ODG=∠OCD=30°，

∵△ODG与△GAH是一对相似的等腰三角形， ∴∠OAB=30°， ∴AF=BF=3， ∴OA=2+3， ∴a=2+3． 点评： 本题是几何变换综合题型，考查了翻折（折叠）变换、全等三角形、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理等知识点，有一定的难度．解题关键是正确理解题目给出的变换的定义，并能正确运用折叠的性质．第（3）问中，有两种情形符合条件，需要分别计算，避免漏解．

25．（10分如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y=x+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点，O为坐标原点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将抛物线y=x+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；

（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长．

2

2

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题；分类讨论．

分析： （1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解． （2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围．

（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长．

解答： 解：（1）将A（0，﹣4）、B（﹣2，0）代入抛物线y=x+bx+c中，得：

2

，

解得：

2

故抛物线的解析式：y=x﹣x﹣4．

（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=（x+m）﹣（x+m）﹣4+，即：y=x+（m﹣1）x+m﹣m﹣；

它的顶点坐标P：（1﹣m，﹣1）；

由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）； 设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），把x=4，y=0代入， ∴4k+b=0，b=﹣4， ∴y=x﹣4．

同理直线AB：y=﹣2x﹣4；

当点P在直线AB上时，﹣2（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m=；

2

2

2

当点P在直线AC上时，（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m=﹣2； ∴当点P在△ABC内时，﹣2＜m＜； 又∵m＞0，

∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜．

（3）由A（0，﹣4）、C（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形； 如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；

∴∠ONB=∠NBA+∠OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠OMB=∠NBA； 如图，在△ABN、△AM1B中，

∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，

2

∴△ABN∽△AM1B，得：AB=AN?AM1；

222

易得：AB=（﹣2）+4=20，AN=OA﹣ON=4﹣2=2； ∴AM1=20÷2=10；

而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，

∴OM1=OM2=6，AM2=OM2﹣OA=6﹣4=2． 综上，AM的长为10或2．

点评： 考查了二次函数综合题，该函数综合题的难度较大，（3）题注意分类讨论，通过构建相似三角形是打开思路的关键所在．