第三章、复变函数的积分 习题课：

1、 分别计算沿（1）直线段；（2）单位圆（

（3）单位圆的右半圆的下列积分：

|z|?1）的左半圆；

I??|z|dz。

?ii

2、 计算积分：

I??Rezdz，

L在这里L分别表示：（1）单位圆（按反时针方向从1到1取积分）；（2）从1沿直线段到2。

3、 设函数

zzf(z)当|z?z0|?r0(0?r0?1)时是连续

的。令M(r)表示|f(z)|在|z?z0|?r?r0上的最

大值，并且假定

r???试证明

limM(r)?0。

r???Kr在这里

lim?f(z)dz?0

Kr是圆|z?z0|?r。

4、 如果满足上题条件的函数

析，那么对任何

f(z)还在|z?z0|?r0内解

r?r0，

?

5、 计算积分：

Krf(z)dz?0

1?|z|?2z4?1dz。

6、 设

f(z)及g(z)在单连通区域D内解析，证明：

??????

?f(z)g'(z)dz?f(z)g(z)|??f'(z)g(z)dz

在这里从的。

?到?的积分是沿D内连接?及?的一条简单曲线取

7、 计算积分： （1）

I??Cdz； （2）I?lnzdz，

?CzC表示单位圆（按反时针方向从1到1取积分），而被积函

数分别取为按下列各值决定的解析分支：（1）1?1；（2）ln1?0或ln1?2?i。

在这里用

8、 如果积分路径不经过点

?i，那么

dz??01?z2?4?k? (k?0,?1,?2,...)

1

9、 证明： （1） （2）

|?(x?iy)dz|?2，C为联-i到i的线段；

C22|?(x?iy)dy|??，C为右单位圆|z|?1，

C22Rez?0；

dz|?2|?2，C为联i到i+1的线段。 （3）

Cz 10、设

f(z)在原点的邻域内连续，那么

lim?2?r?00f(re)d??2?f(0)。

i?10、 计算积分

dzedz（1）

?|z|?1z； （2）?|z|?2z2?2；

dzzdz（3）

?|z|?1z2?2； （3）?|z|?1(2z?1)(z?2)。

12、证明

zz21zed?()?

n?n!2?i|?|?3n!??在这里

nnz?C是围绕原点的一条简单闭曲线。

23??7??1d?13、设f(z)?，求f'(i?1)。

?|?|?3??z

14、通过计算

12ndz?|z|?1(z?z)z, (n?1,2,...)

证明

?

2?01?3?5???(2n?1)cos?d??2?。

2?4?6???2n2n15、如果在

|z|?1内，f(z)解析，并且

1， |f(z)|?1?|z|证明

|f

(n)1n(z)|?(n?1)!(1?)?e(n?1)!(n?1,2,...)。

n16、如果

f(z)在|z?z0|?r0解析，并且limf(z)?A，

z??r?r0

1f(z)dz?A， ?2?iKr在这里Kr是圆|z?z0|?r，积分是按反时针方向取的。

那么对任何正数

f(z)在简单闭曲线C的外区域D内及C上每一点解

析，并且limf(z)??，那么

17、如果

z????f(z)??1f(?)d????2?iKr?-z?? 18、设

(当z?D时)。

(当z?C的内区域时)f(z)在单连通区域D内解析，并且不等于零。那么

g(z)在D内解析，使得eq（1） 存在一个

g(z)?f(z)；

（2） 对于整数

q?2，存在一个h(z)在D内解析，使得

[h(z)]?f(z)。

P(z)是一个n(n?1)次多项式，并且P(z)?0的根全部在区域所以D内，在这里D的边界是一条简单闭曲线C。设f(z)在D上解析。

19、设（1） 令

1f(t)P(t)?P(z)R(z)?dt (z?D)

?2?iCP(t)t?z1f(t)1， Q(z)?dt (z?D)2?i?CP(t)t?z证明R(z)是次数不超过n-1的一个多项式，并且Q(z)在D内

解析。

?z?D，

f(z)?P(z)Q(z)?R(z)，一

如果在D内解析的函数Q1(z)及次数不超过n-1的一个多项式R1(z)满足

f(z)?P(z)Q1(z)?R1(z)

那么 Q(z)?Q1(z),R(z)?R1(z).

(2)、证明