所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢盲拧与性别有关； ……………（4分）
（II）从成功完成时间在[20，30）和[30，40]这两组内的6名男生中任意抽取2人， 基本事件总数为
＝15（种），这2人恰好在同一组内的基本事件为
．……………（12分）
+
＝6+1＝7，
故所求的概率为P＝
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了古典概型的概率问题，是中档题．
20．如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，∠B＝90°，BE∥CD，且BE＝2CD＝2BC＝2，A为BE的中点．将△EDA沿AD折到△PDA位置（如图2），连结PC，PB构成一个四棱锥P﹣ABCD．
（Ⅰ）求证AD⊥PB； （Ⅱ）若PA⊥平面ABCD． ①求二面角B﹣PC﹣D的大小； ②在棱PC上存在点M，满足为45°，求λ的值．
【分析】（Ⅰ）推导出ABCD为平行四边形，AD∥BC，AD⊥BE，AD⊥AB，AD⊥PA，从而AD⊥平面PAB，由此能证明AD⊥PB．
（Ⅱ）①以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的大小．
②求出平面PBC的法向量，由直线AM与平面PBC所成的角为45°，能求出λ的值． 【解答】证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB∥CD，AB＝CD， ∴ABCD为平行四边形，∴AD∥BC， ∵∠B＝90°，∴AD⊥BE，
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＝λ（0≤λ≤1），使得直线AM与平面PBC所成的角
当△EDA沿AD折起时，AD⊥AB，AD⊥AE，即AD⊥AB，AD⊥PA， 又AB∩PA＝A，∴AD⊥平面PAB， 又∵PB?平面PAB，∴AD⊥PB．
解：（Ⅱ）①以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1）， ＝（1，1，﹣1），
＝（0，1，0），
＝（1，0，0），
设平面PBC的法向量为＝（x，y，z）， 则
，取z＝1，得＝（1，0，1），
设平面PCD的法向量＝（a，b，c）， 则
，取b＝1，得＝（0，1，1），
设二面角B﹣PC﹣D的大小为θ， 则cosθ＝﹣
＝﹣
＝﹣，∴θ＝120°．
∴二面角B﹣PC﹣D的大小为120°．②设AM与面PBC所成角为α，
＝（0，0，1）+λ（1，1，﹣1）＝（λ，λ，1﹣λ），
平面PBC的法向量＝（1，0，0）， ∵直线AM与平面PBC所成的角为45°， ∴sinα＝|cos＜
＞|＝
＝
＝，
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解得λ＝0或．
【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的便于合理运用．
21．十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部门对某河流的每年污水排放量X（单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：
污水量 [230，250） [250，270） [270，290） [290，310） [310，330） [330，350） 频率
0.3
0.44
0.15
0.1
0.005
0.005
将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立． （Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量X∈[270，310）的概率；
（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当X∈[230，270）时，没有影响；当X∈[270，310）时，经济损失为10万元；当X∈[310，350）时，经济损失为60万元．为减少损失，现有三种应对方案：
方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元； 方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元； 方案三：不采取措施．
试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由．
【分析】（Ⅰ）由题得P（270≤X≤310）＝0.25＝，设在未来3年里，河流的污水排放量X∈[270，310）的年数为Y，则Y～B（3，）．设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量X∈[270，310）”为事件A，则P（A）＝P（Y＝0）+P（Y＝1），由此能求出在未来3年里，至多1年污水排放量X∈[270，310）的概率．
（Ⅱ） 由题得P（230≤x≤270）＝0.74，P（310≤X≤350）＝0.01．用S1，S2，S3分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失．则S1＝3.8万元．求出S2的分布列，得到E（S2）＝2.6．求出S3的分布列，得到E（S3）＝3.1．三种方案中方案二的平均损失最小，
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从而采取方案二最好．
【解答】解：（Ⅰ）由题得P（270≤X≤310）＝0.25＝，
设在未来3年里，河流的污水排放量X∈[270，310）的年数为Y，则Y～B（3，）． 设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量X∈[270，310）”为事件A， 则P（A）＝P（Y＝0）+P（Y＝1）＝
∴在未来3年里，至多1年污水排放量X∈[270，310）的概率为（Ⅱ） 方案二好，理由如下： 由题得P（230≤x≤270）＝0.74， P（310≤X≤350）＝0.01．
用S1，S2，S3分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失．则S1＝3.8万元． S2的分布列为： S2 P
2 0.99
62 0.01
＝
． ．
E（S2）＝2×0.99+62×0.01＝2.6． S3的分布列为： S3 P
0 0.74
10 0.25
60 0.01
E（S3）＝0×0.74+10×0.25+60×0.01＝3.1．
∴三种方案中方案二的平均损失最小，∴采取方案二最好．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的数学期望的求法及应用，考二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 22．在某市举行的一次市质检考试中，为了调查考试试题的有效性以及试卷的区分度，该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的500名学生的数学考试成绩，并将其统计如表所示．
成绩X 人数Y
[75，85）
30
[85，95） 120
[95，105）
m
[105，115） [115，125）
n
40
根据上表数据统计，可知考试成绩落在[105，125]之间的频率为0.28．
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