为 ．

【分析】根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路，一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次，最近的行走路线共有：n＝上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列

＝5040，先把不向

，接下来，就是把3次向上插

到4次不向上之间的空当中，5个位置排三个元素，也就是A53，求出最近的行走路线中不连续向上攀登的次数m＝向上攀登的概率．

【解答】解：解：根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路， ∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次， ∴最近的行走路线共有：n＝

＝5040，

，

＝1440种，由此能法语出其最近的行走路线中不连续

∵不能连续向上，∴先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列

接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排三个元素，也就是A53，

则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有m＝∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率p＝故答案为：．

【点评】本题考查排列、组合的实际应用，解题的难点在于将原问题转化为排列、组合问题，特别要注意题干中“不连续向上攀登”的限制，考查运算求解能力，是中档题． 16．（3分）伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题．一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）的一种“图形证明”．

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＝1440种，

＝．

证明思路：

（1）图1中白色区域面积等于右图中白色区域面积；

（2）图1中阴影区域的面积为ac+bd，图2中，设∠BAD＝θ，图2阴影区域的面积可表示为

（用含a，b，c，d，θ的式子表示）；

（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．当且仅当a，b，c，d满足条件

时，等号成立．

【分析】利用矩形，平行四边形面积公式计算即可．

【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积S1＝bd+ac；图2中的面积为S2＝（a+d）（b+c）﹣dc﹣ab＝ac+bd，∴两图中的阴影部分面积相等； （2）图2阴影区域的面积S＝AD?ABsin∠DAB＝

（3）∵sinθ≤1，（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．当且仅当答案为：

，

．

时，取等号．

【点评】本题考查了不等式的性质，属于中档题， 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17．已知

的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是9：1．

（1）求展开式中各项二项式系数的和； （2）求展开式中中间项．

【分析】（1）由题意利用二项展开式的通项公式先求出n的值，可得展开式中各项二项式系数的和．

（2）根据n的值，确定中间项，再利用二项展开式的通项公式，求得结果．

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【解答】解：（1）由题意知，展开式的通项为：Tr+1＝

（﹣3）r??

，

∵第五项的系数与第三项的系数的比是 ∴可得各项的二项式系数和为26＝64．

＝9：1，∴＝1，求得n＝6，

（2）∵展开式共有7项，故中间项为．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

18．已知a，b，c∈R+，且a+b+c＝1．证明： （1）a2+b2+c2（2）

+

+

，； ≥1．

【分析】（1）由题意得，1＝（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤3（a2+b2+c2），结论得证． （2）根据到结论．

【解答】证明（1）∵a，b，c∈R+，且a+b+c＝1， ∴1＝（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤3（a2+b2+c2）， ∴（2）∵∴∴∴

．

，

，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． ，

，

，

，

，可得

，从而得

【点评】本题考查用比较法证明不等式，基本不等式的应用，将式子变形是证明的关键，属中档题．

19．大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简

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单的，要学会盲拧也是很容易的．根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关．为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表（1）所示，并邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表（2）所示： 表（1）

男 女 总计 表（2）

成功完成时间（分钟） [0，10） [10，20） [20，30） [30，40]

人数

10

4

4

2

喜欢盲拧 23

不喜欢盲拧

11

总计 30 50

（1）将表（1）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢官拧与性别有关？

（2）现从表（2）中成功完成时间在[20，30）和[30，40]这两组内的6名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率． 附参考公式及数据：K2＝P（K2≥k0）

k0

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

，其中n＝a+b+c+d． 0.005 7.879

0.001 10.828

【分析】（Ⅰ）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；

（II）求出从6名男生中任意抽取2人的基本事件总数和这2人恰好在同一组内的基本事件数，计算所求的概率值．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意填写列联表如下； 男 女 总计

喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 23 9 32

7 11 18

30 20 50

≈5.223＞5.024，

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由表中数据计算K2＝