（2）求展开式中中间项．

18．已知a，b，c∈R+，且a+b+c＝1．证明： （1）a2+b2+c2（2）

+

+

，； ≥1．

19．大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的．根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关．为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表（1）所示，并邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表（2）所示： 表（1）

男 女 总计 表（2）

成功完成时间（分钟） [0，10） [10，20） [20，30） [30，40]

人数

10

4

4

2

喜欢盲拧 23

不喜欢盲拧

11

总计 30 50

（1）将表（1）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢官拧与性别有关？

（2）现从表（2）中成功完成时间在[20，30）和[30，40]这两组内的6名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率． 附参考公式及数据：K2＝P（K2≥k0）

k0

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

，其中n＝a+b+c+d． 0.005 7.879

0.001 10.828

20．如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，∠B＝90°，BE∥CD，且BE＝2CD＝2BC＝2，A为BE的中点．将△EDA沿AD折到△PDA位置（如图2），连结PC，PB构成一个四棱锥P﹣ABCD．

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（Ⅰ）求证AD⊥PB； （Ⅱ）若PA⊥平面ABCD． ①求二面角B﹣PC﹣D的大小； ②在棱PC上存在点M，满足为45°，求λ的值．

21．十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部门对某河流的每年污水排放量X（单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：

污水量 [230，250） [250，270） [270，290） [290，310） [310，330） [330，350） 频率

0.3

0.44

0.15

0.1

0.005

0.005

＝λ

（0≤λ≤1），使得直线AM与平面PBC所成的角

将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立． （Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量X∈[270，310）的概率；

（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当X∈[230，270）时，没有影响；当X∈[270，310）时，经济损失为10万元；当X∈[310，350）时，经济损失为60万元．为减少损失，现有三种应对方案：

方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元； 方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元； 方案三：不采取措施．

试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由．

22．在某市举行的一次市质检考试中，为了调查考试试题的有效性以及试卷的区分度，该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的500名学生的数学考试成绩，并将其统计如表所示．

成绩X 人数Y

[75，85）

30

[85，95） 120

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[95，105）

m

[105，115） [115，125）

n

40

根据上表数据统计，可知考试成绩落在[105，125]之间的频率为0.28． （Ⅰ）求m、n的值；

（Ⅱ）已知本欢质检中的数学测试成绩X～N（μ，σ2），其中μ近似为样本的平均数，σ2近似为样本方差s2，若该市有4万考生，试估计数学成绩介于110～120分的人数；（以各组的区间的中点值代表该组的取值）（Ⅲ）现按分层抽样的方法从成绩在[85，95）以及[115，125]之间的学生中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取4人进行试卷分析，记被抽取的4人中成绩在[115，125]之间的人数为X，求X的分布列以及期望E（X）． 参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．

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2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等

七校高二（下）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1．（3分）对于实数a，b，c，下列结论中正确的是（ ） A．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a＜b＜0，则＜

【分析】分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：对于A：c＝0时，不成立，A错误； 对于B：若a＞b＞0，则＜，B错误；

对于C：令a＝﹣2，b＝﹣1，代入不成立，C错误；

对于D：若a＞b，＞，则a＞0，b＜0，则ab＜0，D正确； 故选：D．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键，本题是一道基础题．

2．（3分）某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N（75，121），考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（ ）人．（参考数据P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544） A．261

B．341

C．477

D．683

B．若a＞b＞0，则＞

D．若a＞b，＞，则ab＜0

【分析】此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N（75，121），所以数学成绩在75分到86分之间即为数学成绩在（75，75+11）之间，先根据正态曲线的对称性，求出数学成绩在75分到86分之间概率，再乘以总人数即可估计出数学成绩在75分到86分之间人数．

【解答】解：依题意，此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N（75，121）， 所以数学成绩在75分到86分之间即为数学成绩在（75，75+11）之间， 所以P（75≤X＜86）＝

0.6826＝0.3413，

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